国外: 各国水文気象局による河川流量の定常観測を含める(s.l.)
日本: 降水precipitationや蒸発evaporation、流出runoffの時空間分布の統計的性質や力学的特性解析分野

→ 現象の分類: 蒸発生起過程、積雪・融雪過程、地表面浸透過程、表面流出発生過程、土壌内の浅い地中水流動過程、基盤に沿う地下水の流動・貯留過程等

→ 対象や行政的要請による分類: 山地(森林)水文学、農地水文学、河川水文学、地下水水文学、都市水文学

地域の気候条件

[ 水循環 | 水 | 湿原 | 海草 | 海洋生態学 | 土壌 ]

河川 (rivers and streams)

大河川でもstreamを使うし小河川でもriverを使う
河川 = running water: サイズを考えなくてよい便利な言葉

水に関する理論: 保安林思想・洪水と渇水

2.5-1° (250-100 km) 格子点に補完された気象データから大気水蒸気収支 → 全球降水データ併用し降雨余剰量(降水量-蒸発量)月単位算定

評価は想定する地表面のスケールにより異なる
Ex. 日本(島国): 高蒸発量 = (流出安定に寄与 vs 河川流出量低下)

Ex. ユーラシア大陸(大スケール): 海洋上から運ばれる水蒸気が陸域降水の最初の湧源だが、大陸内部では地表から蒸発した水蒸気が次の降水の湧源に加わり、蒸発量の多さは降水量増大となる
地域的降水量変動は、地球温暖化の影響のみでなく、林地?農地転換等の土地利用改変も影響

水利用増大による河川水・地下水汚染各地で進行
防止法策定や、水生生物や自然環境への評価を含む水利用対策必要

1) 水収支 hydrological balance

水界生態系の構造を決める上でも重要

Ex. ダム: 流れダム ↔ 止まりダム(独自のプランクトン発生)

S: 貯水量
Q: 通過フラックス

2) 水文基本操作

計画規模: 治水計画策定にあたり、どの程度の規模の洪水まで安全を確保するかという目標

Ex. 計画規模 1/100 → 100年に1度起こりうる規模の洪水を想定
閾値 threshold: その現象を起こさせるに必要な最小エネルギー → 洪水規模の限度

基本高水流量 basic high water discharge: 河川が洪水調節を行われない状態での高水流量

→ 流域に降った計画規模の降雨(時間当りの降雨量等から決める。通常は100-200年に1回の割合で発生する洪水を想定)がそのまま河川に流れ出た場合の河川流量。基本高水流量は、この流量がハイドログラフに示される最大流量から決定された値

計画高水流量 estimated high water discharge = [基本高水流量] - [各種洪水調節施設洪水調節量]

単純平均法: 各地の降水量観測値の算術平均
等雨量線図法: 観測値から等雨量線図作成 → 線間の面積 = 荷重 → 各帯降水量の加重平均値求める
スイーセン法 Theissen method: 観測点を結び出きる三角形の外心求め、外心を結び出きる多角形面積を重さとした加重平均値を求める

実動流量と平均

降水量-流出量は地域毎に普通相関あるが、同一地域でも期間により回帰係数異なる
流出率(流出係数) = 流出量/降水量 → 年差あるが一定と仮定すること多い

3) 森林量水試験

単独法: 1個の流域において森林伐採後の水文量を比較する

併行法: 林相の異なる2個以上の流域の観測値を比較する

対照流域法: 初めの林相がほぼ同一である2個以上の流域において前期観測期間の観測に基づき気象要素の影響による(森林の影響によらない)流出量変動を求めておき、対照となる流域以外の森林にある種の処理(Ex. 伐採)を加え、ついで後期観測期間の観測を待って森林の影響を検出

Ex. 積雪地方: 積雪前適当月から。無積雪地方: 最低降水量月から

4) 蒸発散 evapotranspiration

L = loss (損失量)
E + T ≡ evapotranspiration (蒸発散量)

5) 遮断・浸透・貯留

地下水位 groundwater table: the upper limit of the groundwater
高位水位 perched water table: 地下水等の土壌水の上限の水位

I = grossP - netP    (grossP: 全降水量  netP: 林内降水量)

netP = Sf + (Th + Dr)

(Sf: 樹幹流下量  Th: クローネ通過量  Dr: クローネ滴下量)

∴ I = grossP - Sf - (Th + Dr)

クローネ遮断率(%) = I/(iT) × 100
水平遮断率(露滴補足): 霧が水平に動く途中森林により取られられる率

= i - f (i > f)    (i: 降雨強度  f: 土壌浸透能)

表面流出(直接流出): 地中に浸透せず流出 ↔ 地下に浸透した後に流出

洪水曲線 storm hydrograph: ハイドログラフ中で特に洪水時のもの

係数大 ∝ 渓流的
ダム建設: 河況係数低下目的 - 上昇することがある

係数低下 - 河川安定 - 多様性低下

Q₀: 初日の流出量    Q_t: t日目の流出量    a, c, K, β: 定数

SR = ∫₀^∞Qtdt = ∫₀^∞Q₀K^tdt = -Q₀/log_eK,

K: 蒸発散量最小時の値 → 式から地下水重力貯留量推定可能

氾濫挙動(浸水範囲や浸水深)を経時的予測できる

もっとも単純なもの

タンクモデル tank model

q =λh … 流出流量-貯留高関係式
dh/dt = R - q … タンク内の水の連続式

dh/dt = -q = -λh

h = C·exp(-λt)
q = C·exp(-λt)

流出モデル

流出計算

• 応答モデル(解析的モデル)

線形モデル: 単位図法(総合単位図法, 流出関数法, 等)
非線形モデル

• 集中定数モデル(変数 = 時間): 貯留関数法, 準線形貯留型モデル, タンクモデル, 等
• 分布定数モデル (変数 = 時間, 空間): Kinematic Wave法(等価粗度法), Dynamic Wave法
合理式法(合成合理式法) = 単位図法 + 合理式

流出モデルの同定: 実績洪水の再現
検証: 再現性・モデルの安定性

1. 流出予測への適応性: 「総合治水対策の比較・検討と評価」及び「流域の土地利用形態(流域将来像)に即した流出量の比較・検討」に適用可
2. 同定での再現性: 実績洪水(観測洪水)を実用的に要求される再現精度でモデル定数を同定可
   1. 同定の精度: 観測誤差等を含む実績洪水データを用いても実務的・実用的精度でモデル定数を同定可
   2. 複数地点での再現: 基準点および対象流域内の(複数の)洪水観測地点で実績洪水を再現可
   3. 解の安定性: 同定したモデル定数が安定 → モデル定数の小さな変化が流出量算定値の大きな違いにつながらない
3. 検証での再現性/流出モデルの信頼性: 同定されたモデルにより(同定に利用した以外の)実績洪水が実用的に要求される精度で再現可
   信頼性: 同定モデルにより(同定利用外の)実績洪水が実用的に要求される精度で再現可
   流出解析・流出予測の計算効率: 計算処理等が、実務上、効率的
   モデルとデータの整合性: モデル構造・システムと観測データの質量との整合性 → モデル構造が複雑・多層なためデータの質量不足する、逆に、モデル構造が単純すぎ既存データを活用できないということがない

固体の弾性と可塑性(塑性) elasticity and plasticity

Ex. 切り欠けがあると切れ易い → 応力の集中や亀裂
変位displacement連続 → cp. 流体力学
楔 wedge: V字形の木(金属)片。木や石の割目に打ち込み割ったり物を押し上げたりするのに使う

⇔ 可塑体(塑性体 plastic body): 外力で破壊こそしないが永久に形を変えてしまう
多くの物体は、この間の特性を持つ

→ 破壊生じる荷重
→ F₁ < F₂ → F₁/A₁ ≈ F₂/A₂
→ 力を断面積で割った値が破壊には重要

3つの主要軸 principal stresses: 最大 + 最小 + 中間主応力
→ 全大きさが等しければ球 = 風圧 confining pressure

F_N ≡ 鉛直力, F_S ≡ 剪断力

lim_S→0(F_N/S): 面に垂直な方向の応力

lim_S→0(F_S/S): 面に平行な方向の応力
極限: ある点で定義する → 応力が断面一様なら極限不要

2階のテンソル (cf. ベクトル: 1階のテンソル)
符号に任意性 Ex. 鉛直応力: 引張応力+ ↔ 圧縮応力- (逆も可)

∂σ_x/∂x = lim_dx→0σ_x(x + dx, y, z)/dx = σ_x(x, y, z) + (∂σ_x/∂x)dx

Def. 接線応力 tangential stress: 接線方向への応力

Ex. 棒を引っ張る場合: 引張り強さ tensile strength

F₁ = Fsinθ, F₂ = Fcosθ S_ABsinθ = S
∴ S_AB = S/sinθ
σ_⊥ = Fsin²θ/S = Ssin²θ
σ_II = Fcosθsinθ/S

= 1/2·Fsin²θ/S
= S/2·sin²θ

張力・ずり応力: 面の方向により変化する → 非等方的・異方的
静止流体: ずれ応力 = 0, 圧力 = 等方的

歪(ひずみ) strain

変形体 deformable body: 変形(歪)deformationした形
強化 reinforcement: 変形抵抗を増し強度を上げること

変形後(x + u, y + v, z + w)になる → 変位 ≡ (u, v, w) → 長さ次元

変形前 A, B → 変形後 A', B'
AA'の変位 = (u, v, w), BB'の変位 = (u + du, v + dv, w + dw)
→ u, v, wはx, y, zの関数でありかつ連続で微分可能
du = (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy + (∂u/∂z)dz
dv = (∂v/∂x)dx + (∂v/∂y)dy + (∂v/∂z)dz
dw = (∂w/∂x)dx + (∂w/∂y)dy + (∂w/∂z)dz
この9つの偏微分が解ければ、あらゆる点の変位も求められる

ε = εl/l:ε = 1 → 2倍に伸びる (ε = -1 実現不可能)

γ_xy = ∂v/∂x + ∂u/∂y, γ_yz = ∂w/∂y + ∂v/∂z, γ_zx = ∂u/∂z + ∂w/∂x

∠BAB' = θ₁, ∠CAC' = θ₂ → BB' = v(x + dx, y, z) – v(x, y, z)

tanθ₁ = BB'/AB = (v(x + dx, y, z) – v(x, y, z))/dx
∴ tanq₁ ≈ q1(if q₁ = minute) = ∂v/∂x
同様にq₂ = ∂u/∂y

∠CAB: 変形によって直角からθ₁ + θ₂ = ∂v/∂x + ∂u/∂y = τ_xy減少
→ τ_xy(剪断歪): 変形前直角 → 変形で生じた角度変化をラジアン表示

(τ_yz, τ_zx)も同様

2ϖ_x = ∂w/∂y – ∂v/∂z,
2ϖ_y = ∂u/∂z – ∂w/∂x,
2ϖ_z = ∂v/∂x – ∂u/∂y

∴ |AD||AD'|sinΔDAD' = |AB||AB'|sinθ₁
→ |AD||AD'| = |AD|², |AB||AB'| = |AB|² → |AD|² = 2|AB|²
∴ ∠DAD' = 1/2·θ₁

同様にθ₁に対し行う

z軸のまわりの回転角 ϖ_z = ∠DAD'

= 1/2·(θ₁ – θ₂) = 1/2·(∂v/∂x – ∂u/∂y)

x, y軸まわりの回転: ϖ_x = 1/2·(∂w/∂y – ∂v/∂z), ϖ_y = 1/2·(∂u/∂z – ∂w/∂x)

→ 歪(6成分): 3つの変位から求まり、6個を決定する適合条件式存在
仮想的球(外力0) → 外力を受けると楕円体に歪む

歪に[a, b, c (3) + その各々の方向 (3)]の6つの量がある

歪の適合条件式(6方程式)

1. ∂²ε_x/∂y² + ∂²ε_y/∂x² = ∂²γ_xy/(∂x∂y)
2. ∂²ε_y/∂z² + ∂²ε_z/∂y² = ∂²γ_yz/(∂y∂z)
3. ∂²ε_z/∂x² + ∂²ε_x/∂z² = ∂²γ_zx/(∂z∂x)
4. 2(∂²ε_x/∂y∂z) = ∂/∂x(–∂γ_yz/∂x + ∂γ_zx/∂y + ∂γ_xy/∂z)
5. 2(∂²ε_y/∂z∂x) = ∂/∂y(∂γ_yz/∂x – ∂γ_zx/∂y + ∂γ_xy/∂z)
6. 2(∂²ε_z/∂x∂y) = ∂/∂z(∂γ_yz/∂x + ∂γ_zx/∂y – ∂γ_xy/∂z)

∂²ε_x/∂y² = ∂²/∂y²(∂u/∂x) = ∂³u/∂x∂y²,
∂²ε_y/∂x² = ∂²/∂x²(∂v/∂y) = ∂³v/∂x²∂y
∂γ_xy/∂x∂y = ∂²/∂x∂y(∂v/∂x + ∂u/∂y) = ∂³v/∂x²∂y + ∂³u/∂x∂y² //

∂²ε_x/∂y∂z = ∂/∂y∂z(∂u/∂x) = ∂³u/∂x∂y∂z
∂γ_yz∂x = ∂/∂x(∂w/∂y + ∂v/∂z) = ∂²w/∂x∂y + ∂²v/∂x∂z
∂γ_xy/∂z = ∂/∂z(∂v/∂x + ∂u/∂y) = ∂²v/∂x∂z + ∂²u/∂y∂z
–∂γ_yz/∂x + ∂γ_zx/∂y + ∂γ_xy/∂z = 2(∂²u/∂y∂z) //

垂直歪 ε_x, ε_y, ε_zは体積変化伴う ↔
剪断歪 γ_xy, γ_yz, γ_zxは体積変化伴わない
→ ε_vol = (1 + ε_x)(1 + ε_y)(1 + ε_z) (2次以上の微小項無視)

→ 剪断歪 = 0 ⊥ 鉛直歪 = 極大値(か極小値)
→ その時の歪 e₁, e₂, e₃ ≡ 主歪

応力と歪の関係

等方性: 方向によってその力学的特性が同じ(↔ 異方性)
均質性: 場所によってその力学的特性が同じ(↔ 不均質性)

1. 同じ方向の垂直歪と垂直応力は比例
2. 鉛直応力により、それと直交する鉛直歪も変化(符号反対)
3. 同じ方向の剪断応力と剪断応力は比例

物質により決まる量。試料の形・大きさによらない
ε_x = σ_x/E (E ヤング率)
ε_y = –vε_x = –v·σ_x/E = –σ_x/(mE) (v ポアソン比, m ポアソン数 – 無次元)
ε_z = –vε_x = –v·σ_x/E = –σ_x/(mE)

↔ 圧縮応力に対し同方向の垂直歪 = 圧縮

↔ 圧縮応力に対し直交方向の垂直歪 = 引張

同様に
σ_y → ε_y = σ_y/E, ε_x = -v·σ_y/E, ε_z = -v·σ_y/E
σz → ε_z = σ_z/E, ε_x = -v·σ_z/E, ε_y = -v·σ_z/E

全歪(歪むことによって他成分に影響与えない) ≡ 重ね合わせの原理
ε_x = 1/E·{σ_x – v(σ_y + σ_z)}
ε_y = 1/E·{σ_y – v(σ_x + σ_z)}
ε_z = 1/E·{σ_z – v(σ_x + σ_y)}
ε_vol = ε_x + ε_y + ε_z = (1 – 2v)/E·(σ_x + σ_y + σ_z)

剪断応力と剪断歪の関係

二次元応力状態

σ_z = τ_yz = τ_zx = 0
ε_x = 1/E·(σ_x – vσ_y), ε_y = 1/E·(σ_y – vσ_x), ε_z = -1/E·(σ_x + σ_y)
γ_xy = 1/G·τ_xy, γ_yz = γ_zx = 0

= z方向に垂直歪生じない
ε_z = γ_yz = γ_zx = 0 → σ_z = v(σ_x + σ_y)
ε_x = 1/E·{σ_x – vσ_y – v²(σ_x + σ_y)} = (1 + v)/E·{(1 – v)σ_x – vσ_y}
ε_y = (1 + v)/E·{(1 – v)σ_y – vσ_x}
γ_xy = 1/G·τ_xy, τ_yz = τ_zx = 0

→ 1方向からの力(Ex. バネ)により弾性変形により蓄えられるエネルギー
= (荷重・変位)/2
Ex. 長さdx, dy, dzの直方体, σ_xによってε_xに歪
→ 荷重 = σ_xdydx, 変位 = ε_xdx
∴ 直方体に蓄えられたエネルギー = 1/2·σ_xε_xdxdydx → W = 1/2·σ_xε_x

エアリー Airy の応力関数

1. 力の釣り合い式: ∂σ_x/∂x + ∂τ_xy/∂_y = 0, ∂τ_xy/∂x = 0
2. 歪の適合条件式: ∂²ε_x/∂y² + ∂²ε_y/∂_x² = ∂²γ_xy/∂x∂_y
3. 歪と変位の関係式: ε_x = ∂u/∂x, ε_y = ∂v/∂_y, γ_xy = ∂v/∂x + ∂u/∂y
4. 応力と歪の関係式: ε_x = 1/E·(σ_x – vσ_y), ε_y = 1/E·(σ_y – vσ_x),
   γ_xy = 2(1 + v)/E·τ_xy

∂⁴F/∂x⁴ + ∂⁴F/∂x²∂y² + ∂⁴F/∂y⁴ = 0
→ 4階微分方程式 (≡ 重調和関数), F ≡ エアリーの応力関数
力学的: 方程式を満足するF → 1-4関係を全て満たす
→ 境界条件、幾何学的条件を満足するよう解けば、応力、歪等の関係得られる

剛性率 rididity, G (ずれの弾性率shear modulus): τ = Gθ
体積弾性率 bulk modulus, K: p = -K·ΔV/V

長さ1の立方体 Δν = -νΔa

E·ν → K, K = P/(-Δν/V)

Δν = -Δb/Δa = 0, Δa = P/E, P = E·Δa/a
Δa, -νΔa

E = (1 – νΔa)(P/E) = Δa – νΔa² 3) 3.3'面の歪みを求めよ

     

  1
  2
  3 

1-1'の長さ             
1
1 - Δa
1 - Δa + νΔa
1 - Δa + νΔa + νΔa

2-2'の長さ             
1
1 + νΔa
1 + νΔa - Δa
1 + νΔa - Δa + νΔa

3-3'の長さ             
1
1+νΔa
1+νΔa + Δa
1 + νΔa + Δa - νΔa

体積
  1


        

(Δa)²よりも小 → 全て無視
Δν = (-3 + 6ν)Δa

= 3(2ν - 1)Δa
= 3(2ν - 1)·P/E

K = -P/ΔV = E/(3(1 - 2ν)) > 0
ν < 0.5
Eν → G
G = σ_II/δ

E, K, G, νの間の関係を確認せよ

力の釣り合い equilibrant (force) (or, balanced force)

半径: b, 薄肉 → 外径 ≈ 内径, 内圧: P_i 外圧: P_o

f = ∫₀^pPbsinθdθ = Pb|cosθ|₀^π = b/(b – a)·(P_i – P₀)
b - a « b
αを求める

ps = pπa²
pπa² = σ'²πa(b - a)

N = kθ
k = 1/2·G·πa⁴/l

金属学 metallurgy

流体各点で速度異なる → 内部に摩擦力 → 粘性がある
物質により一定と仮定多(経験的)

単位 = mPa·s(粘度) / mm²/s(動粘度)
Ex. 水 = 1.002/1.004 (20°C), 0.282/0.295 (100°C)

粘性流体: 流速の違う面の間でお互いに力を及ぼす(摩擦の一種)

Ex. 壁の近くでは流速低い

F/S = η·dv/dy,

F: 摩擦力, S: 断面積, dv/dy: 流速勾配

静止流体: 静止状態(at rest) → 力学的エネルギーに粘性影響、摩擦等を考慮しなくてよい

圧縮 compression

Def. バロトロピー流体: 圧縮性流体中で密度がpのみで決定 → ρ = f(p) (p = 圧力, ρ: 流体密度)
Def. ニュートン流体: 速度勾配du一定な流体(du/dt = constant)

管中に流体があると壁付近では速度0だが壁からの距離に比例し流速が早くなる

⇔ 靭性小 = 脆性(もろさ) brittleness

静止流体 (static fluid)

→ 流体に関して常に成立(粘性の有無に無関係)

p = F/S

F: 面に及ぼす力, S: 面の面積

10² Pa = 1 hPa, 10⁶ Pa = 1 MPa (10⁵ Pa = 1 bar バール)

→ 1 atm ≡ 76 cmの水銀柱が底面に及ぼす圧力

1 Torr = 101325/760 Pa ≈ 水銀柱ミリメートル(実用上同)
(協定) 水銀柱ミリメートル: g = 980.665 cm/s², 流体 ρ = 13.5951 g/cm³, h = 1 mmに垂直な柱底面圧力

Ex. 斜線部分の流体は静止 ∴ΣF + mg = 0, m = Vρ₁m

Vρ1g : 押しのけた液体の重さ
液面: 同じ深さでは同じ圧力 → 液面は同じ高さとなる

アルキメデスの原理 Archimedes' principle

4°Cの水(ρw)の質量に対する比, S = ρ/ρ_W
⇒ Def. 比重量: ρg  Def. 比体積: v = 1/ρ

(空気中の重さ値) - (水に沈めた時の重さ値) = 水中の重さ値

→ 水比重を1 (g/cm³)とみなせば、水中の重さの値は体積と同じ

p = ρgh + p₀ → 底の方が圧力高く勢いよく水出る
キャビテーション cavitation: 流動水等の液体圧力が局部的低下 → 蒸気や含有気体を含む泡発生

パスカルの原理 Pascal's principle

[応用] 降圧器 step-down transformer ↔ 昇圧器 step-up transformer。水圧プレス hydraulic press
Q. 同径の針 → 直径の細い注射器の方が軽い力で注射できる理由(針先液圧は同じ)

表面張力 surface tension

表面張力

全系の内部エネルギー増加
dU = TdS - p^αdV^α - p^βdV^β + γdA + μ^αdN^α + μβdN^β

dA: 界面面積の増分

表面張力, γ = (∂U/∂A)S, V^α, V^β, N^α, N^β [dyn/cm]

→ 表面ヘルムホルツ自由エネルギー(γ = F^S/A)に等しい

dS: 液体表面積増分
dW: dSに費やした仕事

メニスカス meniscus: 物体間の極小隙間にできる液体架橋

測定法

→ 毛細管先端で形成される気泡が半球径になるようにする, その時の力F, 収縮 reduction 力 F_c
F = πR²p … (1)    p: 内部-外部圧力差  R: 毛細管先端内径
F_c = 2πRγ … (2)

Ex. 毛細管(10^-2 cm φ)先を容器(5 cm φ)に入れた液体表面に先端浸し、泡が持ちこたえる最大圧力を不揮発性圧力計の液体密度と高さ(圧力径液体最大高, セカトメータか標準試料参照)hを測定

p = hρg → γ = Rhρg/2

[精密研究] 補正compensation必要。1/1000精度での補正表面張力は γ = (Rhρq/2)(1 - 2Rρ₀/3hρ)

∝ 毛細管の外径と液体表面張力

mg = 2πRγ·f(R/v^1/3)    m: 液滴質量

γ_SL, γ_SV, γ_LV: 3界面を含む3つの表面張力

dG = γ_SVdx – γ_SLdx – γ_LVdxcosα = 0
∴ γ_SV = γ_SL + γ_LVcosα … (3)

最初の求和は全界面に渡って、2番目の求和は全ての均一相に含まれるあらゆる分子種について行なう。円筒内の液体高さがdL上昇するとSL界面はそのため2πRdL増加し、SV界面はこれと同じだけ減少する

(μ_L = μ_V, dN_L = –dN_VなのでΣμdN = 0)

N = πR²Lρ/m, MgLdN = πR²LρgdL

(3)式から γ_LV = RLg(ρ_L – ρ_V)/2cosα
Ex. 水銀の表面張力: γ (dyn/cm)

= 463.6 + 8.32 × 10^-2T – 3.125 × 10^-4T² (T, 絶対温度)

運動する流体(連続流体/連続体, continuous fluid)

1. ラグランジュ (Lagrange): 流体粒子の動きを記述

P(x, y, z)

x = f_x(a, b, c, t)   y = f_y(a, b, c, t)   z = f_z(a, b, c, t)

Ex. 液体中に微小な気体泡発生 → 泡は周囲の液体の流れに従い移動

ある瞬間にはトレーサ tracer は1つしか見えない。その残す足跡は現実には見えず、記録にのみ残る

2. Euler: 「流体場 (流れの場)」

流跡線 trajectory: 流体の可視化 visualization → 流体中に目印(トレーサ) → 目印の軌跡 track をとる

Ex. 煙突からの煙が描く線 → 「特定の一点」は煙突の先端

複数の流線を束ねる → 管形成 = 流管
流管中にある流体は、個々には流線に沿い移動 → 流管からはみ出さない

定常流

流脈、流跡、流線は一致 ↔ 非定常流では差が生じる

ρ_Av_AS_A = ρ_Bv_BS_B
(Pr. ρ_Av_AΔtS_A = ρ_Bv_BΔtS_B)
密度一定 → s_Av_A = s_Bv_B
流管: AB間に流体の引き出しなければAから単位時間に流れ込む流体

静圧 static pressure
動圧 dynamic pressure
縮まない流体であれば ρ_A = ρ_B ∴ vρ_ASρ_A = vρ_BSρ_B

完全流体(粘性なし) → 速さと圧力の関係式 → 1/2·v² + P/ρ + gh = constant

力 = 圧力差 → 早い[遅い]場所 = 圧力大[小]

E(BB') = 1/2·M_BB'v_B² + gM_BB'h
E(AA') = 1/2·M_AA'vA² + 0
E(BB') - E(AA') = (1/2·M_BB'v_B² + gM_BB'h) - (1/2·M_AA'vA²)
Dに外からなされる仕事 = 圧力による
W = ρ_AS_Av_AΔt - ρ_BS_Bv_BΔt (完全流体)
M_AA' = ρ_AS_Av_AΔt, M_BB' = ρ_BS_Bv_BΔt
1/2·ρ_BS_BΔtv_B² - 1/2·ρ_AS_AΔtv_A² + gρ_BS_BΔth

= (P_A/ρ_A)P_AS_Av_AΔt - (P_B/ρ_B)P_BS_Bv_BΔt

連続の式 ρsv = constant
∴ 1/2·v_B² - 1/2middot;v_A² + gh = P_A/ρ_A - P_B/ρ_B (gh = gh_B - gh_A)
1/2·v_B² + P_B/ρ_B + gh_B = 1/2·v_A2 + P_A/ρ_A + gh_A = constant

Ex. 野球で投げるカーブ    トリチェリの定理    ピトー管 pitot tube

1/2·ρv₀² + P₀ + gρh = 1/2·ρv² + P₀ → 1/2·ρv₀² ≪ ε, v = √(2gh)

Δp = FΔt (力積), h = constant, t = 0 → Δt
Δp = p(BB') – p(AA') = M_BB'v_B – M_AA'v_A

= Δρ_BS_Bv_BΔtv_B – ρ_AS_Av_AΔtv_A = ρSvΔt(v_B – v_A)

F = Δp/Δt = ρSv(v_B – v_A) → AB間の流体に働く合力
ポアズイユの流れ

Ex. 温度移流 thermal advection

移流: 同一地点における物質・物理量変化
輸送: 2地点間の物質・物理量の運搬 →

Def. 回転速度 = 回転軸を中心とした回転速度
Def. 回転マッハ数: 回転流体における流れ

= (回転流体絶対速度)/(流体中を伝播する音速)

層流 laminar flow vs 乱流 turbulent flow

2つの接する流水の速度差小 → 互いの流れを乱しあうことなく流れる

= 属流状態を保てなくなり不規則に流れること
乱流 ⇒ 渦状の運動エネルギー増し圧力減少する
渦動拡散 diffusivity: 乱流渦による拡散 - 大気汚染の主原因

Re = ρ·v·r·v_r   (v_r ≡ 粘性率)

Re小 → 粘性抵抗 > 慣性抵抗, and vice versa

Q = (πr⁴Δp)/(8ηl),

Q: 単位時間の流量, r: 管半径, l: 管長

空気力学 aerodynamics

ウィンドファーム wind farm
揚力 lift: 飛行中の航空機を空中に支える力(垂直上向き) → 浮力

[ 砂防 ]

渓流水理

τ: 剪断変形に抵抗力(= 粘性)
μ = 0.1794(1 + 0.03702T + 0.0001638T²) (T: 摂氏0-100°の場合)
乱流の剪断抵抗力 (τ): τ = r(v + e)(dv/dz)
[ε = l²|dv/dx| » 0 過動粘性係数]

v1²/2g + z1¹ + p1/w = v2²/2g + z2² + p²/w + ∫l(l/R)·(v²/2g)dl, or

∫l(l/R)·(v²/2g)dl: 粘性抵抗によって失われるエネルギー

d/dz(v²/dl) + d/dl(z + p/w) + v²/c²R = 0, c² = l/2g

Q = vA = constant, A = constant, v = constant

Q = vA = constant, or dQ/dx = 0
I = d(v²/2g)/dx + v²/c²R (ベルヌーイの定理)

∂A/∂t + ∂(vA)/∂x = 0
I = ∂(v²/2g)∂x + (1/g)∂v/2t + v²/c²R

河床勾配: 河床の傾斜 → 日本 = 一般に河口から上流に向い上昇
安定勾配(Ib): 土砂で構成されている河床が洗掘も受けず体積も起こらない状態にあるときの勾配

Ib = U*c²/gR
Ib = {(α/ρ - 1)⁴·d²·q²/(100g²R)}^1/5

堰 weir

オリフィスから流出する流れ: h = (u^P)²/2g = u²/2g

h: 孔の中心から計った水面の高さ
uP: 水槽内での流速
u: 流出水の平均流速

上式で(u^P/u)² = (a/A)²を無視 → u = √(2gh)
流量, Q = Ca√(2gh)

c: オリフィスの流量係数 = 0.60-0.65

Q' = C'∫_h1^h₂{b_z√(2gz)}dz

堰は断面の大きい孔の上端が水面と同じ高さにある場合とし取扱える

開水路