コンピュータ数学: 計算機・情報理論等

数学を必要とする学問 (基本的には全分野)

1. 物理学 Ex.. Einstein相対性理論: Rieman幾何学(特殊および一般相対性理論)、ニュートン力学: 微積分
2. 化学 Ex. 量子論
3. 統計学 (確率論 probability theory) Ex. 母集団, 無作為抽出, 平均, 偏差, 推定, 検定

数学記号 mathematical symbols

+ (正符号, プラス)/- (負符号, マイナス)

x + y (和), x – y (差) だたし、x - yは通常x + (-y)と定義される

√ (根号, ルート)

= (等号, イコール, equality sign)

Def. 等式: 等号を含む式

÷ (除法, 割る)

. (少数記号)

<, > (不等号 = 大小関係/順序, 小なり/大なり, inequality sign)

Def. 不等式: 不等号を含む式

[ 記号論理 | 微積分 | 参考 ]

≤, ≥ (大小関係/順序, 小なりイコール/大なりイコール)

× (乗法 multiplication, 掛ける)

Ex. n! = Π_i=1ⁿi

数学的帰納法

(1)からn₀ > 1 ∴ n₀ - 1 ≥ 1, n₀ ∉ A
(2)より n₀ = (n₀ - 1) + 1 ∈ A
矛盾 ∴ A' = ∅ //

Th. 0₂ (1), (2)を満たす ∴ A = N ⇒ P(n)は全てのNで成立 //

(2) n = kの時に k! ≥ 2^k-1成立と仮定

(k +1)! - 2^k = (k +1)·k! -2·2^k-1 ≥

(k +1)·2^k-1 -2·2^k-1 = (k -1)·2^k-1 ≥ 0 (∵ k > 1)

∴ (k + 1)! ≥ 2^k → n = k + 1の時も成立 //

Ex. 北海道大学学生 (≡: 定義記号)

1. V ∈ V → Vは自分自身を要素とする集合 → Vの定義よりV ∉ V
2. V ∉ V → Vは自分自身を要素としない集合 → Vの定義よりV ∈ V
∴ 1, 2のいずれも矛盾 ∴ Vが集合であるという仮定不成立 //

∈: 属するin ⇔ ∉: 属さない (∈の否定)_¬: 否定 Ex. ¬(x ∈ S) = x ∉ S
Ex. {x ∈ S|C(x)} {x|C(x)}, {x| 1 ≤; x ≤ 3, x = 整数}, ∈ S: 自明なら省略

→ 集合S上の関係Rが以下の3つの性質(同値律)を満足する

1. 反射律: _xR_x
2. 対象律: _xR_y → _yR_x
3. 推移律: _xR_y, _yR_z → _xR_z

→ (a) C_a∩C_b ≠ φ, (b) C_a∩C_b = φ

同様にyRz … (2)
(1), (2) → _yR_x → _bR_y, _yR_x → _bR_x ∴ x ∈ C_b ∴ _Ca ⊆ C_b … (3)
同様に y ∈ C_a ∴ C_b ⊆ C_a … (4)
(3), (4) → C_a = C_b → Sは互いに素なる和集合 //

同じ類に属するという関係をRで表す
→ RはSの上の同値関係
即ち、^∀x, ^∀y, ^∀z ∈ S →
(1) xRx成立、(2) _xR_y → _yR_x成立、(3) _xR_y, _yR_z → _xR_z成立 //

類別: 互いに素である類に分類すること
代表: 各類からそれぞれ任意に1つづつ取り出した要素

Ex. {x ∈ ℜ: x² + 1 = 0} = ∅

φ: 全ての集合の部分集合
⇔ B ⊄ A: BはAの部分集合ではない

集合系 system of sets

冪(べき)集合 power set

集合X = ∅ → P(X) = {∅} [P(X) = ∅とはならない]

部分集合系, S_i

ベン図 Venn diagram

1. 代数的構造 (演算)
2. 順序数 (大小)
3. 連続性

A⊃B ⇔ ^∀b ∉ B → b ∉ A

X = {x| - 2 ≤ x ≤ 1}, Y = {x| -3 < x < 4} ⇒ X ⊂ Y

^∀a ∈ A → A⊂B, ^∀b∈B → b ∈ A, A⊃B ∴ A = B ↔ A ≠ B

= [等しい、イコール] 集合の一致 ↔
≠ [等しくない、ノットイコール] 集合の不一致 → =の否定

1. 合成集合(和集合, 結び) union, join or sum group [∪または/カップ]
   S∪T → x_i ∈ S∪T → x_i ∈ S, x_i ∈ Ｔ どちらか一方成立
   直和集合: S + T → 「S∪T」に同じであるが、S∩T = ∅を暗黙に説明
   [+: 足す]
2. 共通集合(積集合, 共通部分, 交わり) intersection, meet [∩かつ/キャップ]
   S ∩T, x_i ∈ S∩T → x_i ∈ S かつ x_i ∈ T 両方成立

   A∩B ≠ ∅ → 交わる ⇔
   A∩B = ∅ → 交わらない (互いに素 disjoint), AとBは素

3. 補集合(差集合) difference: S⊇T → S–T
   [S – T, S¥T: 差集合]をTのSに関する補集合 (記号: C(S) or S^c = T)
   x ∈ S – T → x ∈ Sかつx ∈ T 成立(x ∈ S 成立、a ∈ T 不成立)
4. 直積集合 product group: S×T = {(x, y)|x ∈ S, y ∈ T}, (x, y) 順序対 (x, y) ≠ (y, x)
5. 冪集合 → 冪集合の要素はそれ自体が集合
   集合S → 冪集合 S², or P(S)
   Ex. S = {1, 2, 3, 4, 5}, T = {1, 3, 5, 7, 9}, U = {1, 2, 3}, V = {1, 2}

   S∪T = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
   S∩T = {1, 3}
   S–U = {4, 5}
   U² = {φ, 1, 2, 3, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3)}
   U×V = {(1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2) (3, 1) (3, 2)}

6. 商集合[/, オーバー]: S/~は、集合Sの同値関係~により定まるSの商集合を表す

  記号   集合論   確率論              (備考)
  Ω     全体集合 標本空間            (必ず起こる事象に対応)
  ∅      空集合   空事象              (決して起こらない事象)
  ω∈∅  Ωの要素 状態state of nature (根元事象)
  A∈F   Fの要素  事象                (状態の集まったもの)
  Ac     補集合   余事象
  ∪Ai   合併集合 和事象              (∪i=1n or  ∪i=1∞)
  ∩Ai   共通部分 積事象              (∩i  =1n or ∩i=1∞)
  A∩B=∅ 互いに素 AとBは排反事象
  A⊂B   部分集合 Aが起こる時Bも起こる

C⊆A, D⊆B, ƒ(C) = {ƒ(c)|c ∈ C}, ƒ^-1(D) = {a ∈ A|ƒ(a) ∈ D} →

それぞれƒによるBの像, ƒによるDの原像

f(a) = f(b)ならば常にa = bであれば単射 → Def. |A| ≤ |B|
→ Def. 全射 surjection: f(a) = ^∃b

fはAからBへの1対1対応(写像)

y = f(x): A = [a, b] →

{f(1) = c, f(2) = a, f(3) = d},
{g(1) = b, g(2)= d, g(3) = b},
{h(a) = 2, h(b) = 1, h(e) = 2, h(d) = 3}
→ f, gはAからBへの写像, f ≠ g
f: A → Bは単射であるが全射ではない
g: A → Bは単射でも全射でもない
h: B → Aは全射であるが単射ではない

1) ^∃y ∈ B → 1 ≤ y ∴ fは全射
2) x₁, x₂ ∈ A, x₁ ≠ x₂ → 1/x₁ ≠ 1/x₂ ∴ fは単射
→ 1), 2)より全単射 //

→ |X| = m (Xの濃度はm)
Def. ∅: 有限集合 → 濃度は0

If g: X → ^∃P(X), V := {x ∈ X|x ∉ g(x)} ∈ P(X)
g → 全射 → g(v) = V, ^∃v ∈ X
If v ∈ V → v ∉ g(v) = V
If v ∉ V → v ∈ g(v) = V … 矛盾 //

写像fと写像gの合成 → f○g = f(g(x))

合成順序を逆に定義する(g(f(x)))流儀もある

積(合成写像): f: A → B, g: B → C,

a ∈ A, f(a) = b ∈ B, g(b) = c ∈ C
→ g(f(a)) = c → gfと表す

Ex. a ≠ b → (a, b) ≠ (b, a) → 順序列(a, b)

Case P × P = P² [A × B ≠ B × A]
(a, b), (c, d) ∈ A × B, a = c, b = d → (a, b) = (c, d)

[xをx自身に写す写像] → 1_A: A → A, 1_A(x) = x と表す

f(a) = b → f^-1(b) = a
(f^-1)^-1 = f, f^-1f = 1_A, ff^-1 = 1_B

Euler: 定義域 = 関数が数学的意味を持つよう暗黙中に定められる

ゼロ点 zero point 定義されない

⇒ 関数式 function expression or formula: 関数を表す式
Def. Mapマップ(S, T): SからTへの写像を全て集めた集合
Def. fのグラフ: {(a, f(a)| a ∈ A} ⊆ A × B

線形変換(一次変換) linear transformation

群の元xに対しordxはxの生成する巡回群の位数を表す

ブラックボックス black box

          Ex. 1    Ex. 2
  Input   x        x            1  2  3 …  7  8  9 …
  Output  2x + 1   x + x + 1    3  5  7 … 15 17 19 …

ブラックボックス上は、Ex. 1, Ex. 2は同じ関数となる

→ 2個のブラックボックスを結合したものは、やはり1つのブラックボックス

⇔ 数字 ≡ 数を表す記号(混同されるが、本質的に異なる)

1という数自体はリンゴやミカンではないし、それが存在するという事実を指す訳でもない。まして縦や横に引かれた短い線分を言うわけではない

実数 real number, R or ℜ

有理数 rational number, Q or ℚ: 整数の比で書ける数

整数 integer (number), Z or ℤ

正数(正の整数) (= 自然数 natural number), N or ℕ
0
負数(負の整数)

分数 fractional number: 分母 denominator と分子 numerator を整数で表わすことができる数

有限小数 finite decimal
循環小数 recurring decimal Ex. 0.1^•23^• (1^•23^•: 循環節 recurring period)

純循環節 pure recurring period: 循環節が小数第1位から始まる
混循環節 mixed-recurring period: 純循環節ではない → 有限小数と循環小数の和

無理数 irrational number: 循環しない無限小数 infinite decimal

√2 = 1.41421356 一夜一夜に人見頃____√3 = 1.7320508 人並に奢れや
√5 = 2.23620679 富士山麓にオーム鳴く_√6 = 2.44949 二夜しくしく / 似よよくよく
√7 = 2.64575 菜に虫いない___________√8 = 2.8284271 ふわふわ世に無い
√10 = 3.16227三色に鮒

虚数 imaginary number, ℑ (i, i² = -1)

s.l. 絶対値が1より小さく零でない実数を位取り記数法で表したもの
s.s. 整数ではない実数を位取り記数法で表したもの
→ 帯小数: 整数の部分が零でない

n, m ∈ N, n ≠ m → 2n ≠ 2m, f(n) ≠ f(m) ∴ fは単射
fは1対1対応でありM~N //
(M⊂N)∧(M~N) → 無限集合の特徴(有限集合では起こりえない)

Nの濃度 → |N| = |Z| = |Q| = ℵ₀

H. 連続体仮説 (continuum Hypothesis, CH)

H. 一般連続体仮説 (general CH, GCH)

積 product, c = ab ⇔ 商 quotient, a = c/b (b ≠ 0) (除法 division)
和 sum, a + b = c ⇔ 差 difference, a = c – b (減法 subtraction)

1. M ∋ a*b → Mは演算に関して閉じている
2. M ∋ a, b, c, (a*b)*c = a*(b*c) → 結合法則(律) (combination law, association law)
3. M ∋ a, a*x = a, x ∈ M, xを単位元, x = eとおく → 単位元存在
4. M ∋ a, a*y = e, y → M, yを逆元 → 逆元存在

Def. 単位群: 単位元のみの部分群(eと表す)

ey = (ax')y' = a(x'y') = ae = a, ea = e(ey') = (ee)y' = ey = a

Def. x := a^-1 ≡ 逆元

移項 transition: 一方にある項を、符号を変えもう一方の項に移すこと Ex. a + b = c → a + b – c = 0

→ Def. 位数: Gの要素の個数nのこと → |G| = n

If a^t-s = e →
1) t – s = 1 → a = e, a^-1 = a ∈ H
2) t – s ≥ 2, a^t-s = a^t-s-1a = e ∴ a^-1 = a^t-s-1 ∈ H //

          加法 乗法           群G, 要素 n
  自然数  ○   ×             有限群 = 有限集合
  整数    ○   ×                 位数 → nの個数 → |G| = n
  有理数  ○   ×(≠ 0 → ○) 無限群 = 無限集合
  実数    ○   ×(≠ 0 → ○)
  複素数  ○   ○

Ex. f(x) = x³ - 6x² + 11x –6, f(1) = f(2) = f(3) = 0 →
f(x)は(x - 1), (x - 2), (x - 3)で割切れる

[記号] 〈•〉 [山括弧] 生成する部分群(巡回群): 群G, S ⊆ G → 〈s〉はSの生成する部分群

Case. Sが一元集合S = {x} → 〈x〉とも書く(= xの生成する巡回群)

• Auto(G) [オート] 自己同型群: Gのそれ自身に対する同型 automorphism 全体からなる群
• Inn(G) [インナー] 内部自己同型群: Gの内部自己同型 inner automorphism 全体からなる群
• End(G) [エンド] 自己準同型群: Gのそれ自身に対する準同型 endomorphism 全体からなる集合(モノイド)

Ker [カーネル] 核(零空間): 群や環の準同型、ベクトル空間間の線形写像 φ に対しKer φはその凖同型の核

Ex. 有理数全体の集合(0を除く)、実数全体の集合(0を除く)、n次正則行列全体の集合

整数の除法 (entire division)

a = qb + r, 0 ≤ r ≤ b, ^∃1q ∈ Z, ^∃1r ∈ Z

i) 0 ≤ r < b - 1 → n + 1 = bq + (r + 1)
ii) r = b - 1 → n + 1 = bq + r + 1 = b(q + 1) + 0
(i), (ii)共にn + 1でも成立

⇔ a = b(-q) + (-r) (-b < -r ≤ 0)
⇔ a = b(-q) - b + (-r + b) (0 < -r + b ≤ b)

a = bq + r (0 ≤ r < b), a = bq' + r' (0 ≤ r' < b), q ≠ q' ∨ r ≠ r'
→ (bq + r) - (bq' + r') = a - a ⇔

b(q - q') + (r - r') = 0 ⇔ b(q - q') = r' - r

∴ b|r' - r
0 ≤ r' ∧ r < b ⇒ r < r' + b ⇔ r - r' < b ⇔ r' - r > -b
0 ≤ r ∧ r' < b ⇒ r' < r + b ⇔ r' - r < b
上記より r' - r = 0 ⇔ r = r'
(bq + r) - (bq' + r') = a - a ⇔ b(q - q') = 0 ⇔ b = 0 ∨ q - q' = 0
ここで b > 0 → q - q' = 0 ⇔ q = q'
⇒ 上2式は仮定に矛盾 //

表記 gcm(a, b, …), 自明であればgcmは省略

(a) r_n > 0 → r_n+1 = [r_n-1をr_nで割った余り]
r_n = 0 → r_n+1 = 0

rはd₁で割り切れる (+ d₁はbとrの公約数) → d₁ ≤ (b, r) = d₂

d₂ ≤ (a, b) = d₁ ∴ d₁ = d₂ ⇒ (a, b) = (b, r)

r_k > 0 → r₁ = a > r₂ = b > r₃ > … > r_k > r_k+1 ≥ r_k+2 ≥ … ≥ 0
単調減少数列: Nでr_N > 0 and r_N+1 = 0 → r_N-1はr_Nの倍数
(1)より (a, b) = (b, r₃) = … = (r_N-1, r_N) = r_N //

273/117 = 117·2 + 39 → (273, 117) = (117, 39)
117/39 = 39·3 + 0 ∴ G.C.M. = 39

一般式: a₁x₁ + a₂x₂ + … + a_nx_n = k
Ex. xy - 2x - 3y + 1 = 0, 1/x + 1/y + 1/z = 1

偶数 even number ≡ 最小の素数2で割り切れる数 = 2の倍数 multiple
⇔ 奇数 odd number ≡ 偶数でない数

Th. 「整数論の基本定理」

if n [全素数の数] →^set finite, p₁, p₂, p₃, …, p_n → n < N =^Def p₁·p₂·p₃…p_n+1 → 仮定よりNは非素数、即ち合成数
N/^∀p_i = p_i·f(p_i) + 1 → ^∃p_iでNは割り切れない
→ 1) Nは素数, N ∉ n, 2) nの中に新しい素数存在 [いずれにしても矛盾] → 仮定否定: n, 無限 infinite //

2の倍数(偶数)を消去 → 3の倍数を消去 → [√N]まで繰り返す(完了)

[N]: Nを越えない最大の整数 (ガウスの記号 Gauss's symbol)

最大の素数: 2001年現在2^6972592 – 1 → メルセンヌ数(2^M – 1)になる
今後もより大きな素数が発見される (∵ 素数は無限に存在)

合同

Ex. n, m ∈ Z, n ≡ m (mod d) ⇒ nとmがdを法として合同

フェルマーの最終定理 Fermat's Last Theorem

平面幾何学 plane geometry = 二次元を扱うユークリッド幾何学
立体幾何学 solid geometry = 三次元を扱うユークリッド幾何学

形(空間)を連続変形しても保たれる特性扱う → 一見無秩序な形中から秩序性見出し記述
フラクタル幾何学 fractal topology: 曖昧な形を記述 → 数理的には非整数次元を有することが可能な形を扱う

Fractus (L): 「壊れる」という意味。複雑で手に負えないというニュアンス

5公理 (five axioms)

5公準

1. 結合(直線が点を通る、点が直線上にあるといった関係): 任意の点とこれと異なる他の任意の点とを結ぶ直線を引くことができる → 2点は1本の直線を定める ⇔ 2直線は1点を定める

   → 対称性 = 双対原理

2. 順序(点や直線の関係): 任意の線分はこれを両方へ無限に延長できる
3. 連続(極限に関連): 任意の点を中心に、任意の半径で円を描ける
4. 合同(線分、角等に関する公準): 直角は全て相等しい
   ≡ 合同: 三角形合同関係や整数合同関係等を表すため広く使われる
5. 平行線(定理): 直線LとL上にない点Pが与えられたときPを通りLに平行な直線はただ1つ存在 → ユークリッド幾何学の平行線

= n本の軸が原点 origin で垂直に交わる空間

a = (a₁, a₂, … a_n), b = (b₁, b₂, … b_n) ∈ Rⁿ ⇒
n次元ユークリッド空間, ||a - b|| ≡ (Σ_i=1ⁿ(a_i - b_i)²)^1/2)

1. 双曲幾何学(ロバチェフスキー・ボリアイ幾何学): 平行線の公理を「…は無数に存在する」と定義(双曲面上を定義) → 平面上で直線lの外の1点Pを通ってlに平行な直線は無数に引ける
2. リーマン幾何学(楕円幾何学), Riemann GFB 1826-1866: 球面上を定義 → 球上2対心点を1点とみなす
   与えられた直線上にない1点を通る平行な直線は存在しない →
   ユークリッドの平行線の公理成りたない
   Ex. 全経線は極で交わり平行な直線ない

1. 3辺の比が等しい, a:a' = b:b' = c:c'
2. 2辺の比が等しく、その挟角が等しい, b:b' = c:c', ∠A = ∠A'
3. 2角が、それぞれ等しい, ∠A = ∠A', ∠B = ∠B']

空間

→ 要素の相対的な位置関係のみを扱う
位相幾何学: 柔らかい幾何学

多面体

頂点(頂上) vertex: 多面体の角

1. 全ての面が合同な正多角形
2. 各頂点に集まる辺の数が全て等しい

= 正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体

射影幾何学

→ 全ての無限遠点は無限遠直線(水平線)を構成
→ 任意の2直線は、だた1点で交わる
点: 位置を定める → 無限遠点: 方向を定める

∠ENPと∠EOPは同じ弧EP → ∠ENP = α/2
∠ENQと∠EOQは同じ弧EQ → ∠ENQ = α/2
∠ENSと∠EOSは同じ弧EP → ∠ENP = α/4
→ ∠PNS = α/4 + α/2, ∠QNS = α/4 – α/2
SQ' = tan(α/4 – α/2) = (1 – tanα/2)/(1 + tanα/2)
SE' = tan(α/4) = 1
SP' = tan(α/4 + α/2) = (1 + tanα/2)/(1 – tanα/2)
→ SP'·SQ' = 1 → P', Q'は互いに反転 //

DA/AC = ED/GC, CB/BF = CG/FE
2式を掛け合わせる //

(sinDA/sinAC)·(sinCB/sinBF)·(sinFE/sinED) = 1
sinDAは弧DAの中心角
以下も同様

ΔABC, π < ∠A + ∠B + ∠C < 3π
r: 球の半径 → ∠A + ∠B + ∠C = π + S/r²

→ ΔADC ∝ ΔABE, ΔADE ∝ ΔACB
→ AB·CD = AC·BE, AD·BC = AC·ED
2式を加える //

立体投影法

r ≡ 半径

x = 2r²x/(x'² + y'² + r²)
y = 2r²y/(x'² + y'² + r²)
z = (x'² + y'² – r²)r/(x'² + y'² + r²)

(cr + d)(x'² + y'²) + 2ar²x' + 2br²y' – (cr + d)r² = 0
つまり球面上の円の像は平面(赤道面)上の円となる //

→ 面積, S = √s(s – a)(s – b)(s – c)

x ≡ 独立変数 independent variable (引数 argument)
y ≡ 従属変数 dependent variable
定数関数 constant function: 独立変数が定数値の関数 Ex. f(x) = 4

Ex. x² + y² = 1, xを与えた時本方程式を満足するy値は1つとは限らない
媒介変数表示

Ex. x = t + 1, y = t² → t消去可能: tを媒介変数とする表示

一般に陰関数 f_n(x)yⁿ + f_n–1(x)y^n–1 + … + f₁(x)y + f₀(x) = 0で表わせる
→ 代数関数 = 有理関数 + 無理関数
f_i(x), n ≥ i ≥ 0はxのみの多項式でf_n(x)は恒等的には0ではない

h(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a_nxⁿ (a_n ≠ 0) (次数 G{h(x)} = n)
g(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + … + b_mx^m (b_m ≠ 0)

h(x)/g(x) = h₁(x)/g₁(x) + h₂(x)/g₂(x)

→ A/(x – a)^k (実根) or (Lx + M)/[(x – p)² + q²]^k (虚根)とおける関数

Ex. (x + 1)/(3x³ + 2), (√5·x² + π)/(ex)

n乗根と四則演算から定義される関数 Ex. √x, (³√(x² - 2) + 4)/(5x)

初等超越関数 elementary transcendental function

^∀ε > 0, ^∃δ > 0, 0 < |x – a| < δ, x ∈ D for all x → |f(x) – l| < ε
D: 変域
f(x): 一価関数 = xの像が1つの場合(そうでない場合は多価関数)

x: 指数 exponent, a: 底 base (表記法: y = e^x, or y = exp(x))

∴ (-∞, +∞) continuous (指数関数の連続性)

x = a^y exist ⇒ log_ax (0, +∞) (a ≡ 底)

a = 10 → 常用対数 common logarithm
a = e → 自然対数 natural logarithm
対数グラフ logarithmic chart

a > 1 → 狭義単調増加, lim_x→0+a^x = -∞, lim_x→∞a^x = +∞
0 < a < 1 → 狭義単調減少, lim_x→0+a^x = +∞, lim_x→∞a^x = -∞

∴ (0, +∞) continuous

(2) lim_x→∞(log(1 + x)/x) = 1,
(3) lim_x→0((e^x - 1)/x) = 1

y = arcsinhx = log(x + √(x² + 1)) … (1)
y = arccoshx = ±log(x + √(x² - 1)) … (2)

(1) x = sinhy = (e^y - e^-y)/2, e^y = x ±√(x² + 1) → y = log(x + √(x² + 1))
(2) x = coshy = (e^y + e^-y)/2, e^y = x ± √(x² - 1)

→ y = ±log√(x + √(x² - 1)) ∵ (x + √(x² - 1))(x - √(x² - 1) = 1) //

弧度法 circular method

l = rθ → θ = r/l → S = 1/2·r²θ → l上に点P(x, y)をとるとき
(弧 r = 半径 radius, θ = 中心角 central angle, 弧長 arc length = l, 面積 aera = S)

∴ cosx < sinx/x < 1 (0 < x < π/2) … (1)
cosx, sinx/x 偶関数 ⇒ -π/2 < x < 0でも(1)は成立 //

三角関数公式 equations of trigonometric function

∴ lim_x→0(sin^-1x)/x = lim_y→0y/siny
0 < |y| < π/2 → 1 < y/siny < 1/cosy, y → 0 → cosy → 1, y/siny → 1
∴ lim_y→0y/siny = lim_x→0(sin^-1x)/x = 1 //

Ex. 温度、密度、気圧 → スカラー場

Ex. 風、力、運動速度 → ベクトル場

元(x₁, x₂, …, x_n): 元間に距離を定める

d(x, y) = √Σ(x_k – y_k)² (k = 1, …, n)
1. d(x, y) ≠ 0 (x = y 等号成立)
2. d(x, y) = d(y, x) (対称性)
3. d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) (三角不等式)
⇒ 1-3満たす距離を集合Sに定義 ⇒ S =^Def. 距離空間 metric space (位相空間へ発展)

ベクトル空間(ユークリッド空間) vector space

Def. 2ベクトルは同じ方向と大きさを持てば等しい

a = (a₁, a₂, …, a_n) → n次元のベクトル
Def. ベクトルの成分 components of a vector: a_i

PAB < 180°, ベクトル系(a, b, c) →
正系(a, b, c), (c, a, b) [反時計回り] ↔ 負系(c, b, a)

|a| = a₁² + a₂² + … + a_n² = √Σ_i=1ⁿa_i²

= ベクトルの合成 composition of vectors

1. a = (a₁, a₂, …, a_n), b = (b₁, b₂, …, b_n)
   → c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, a_n + b_n)
2. 最初のベクトルの始点から次のベクトルの終点を結んだ有向線分
3. 2ベクトル a, bの和a + bはaとbによって作られる平行四辺形の対角線として表わせる

1. 2ベクトルの和はベクトルである(和は閉じている) → 可群
2. A + B = B + A (交換法則)
3. (A + B) + C = A + (B + C) (結合法則)
4. A + 0 = Aとなるベクトル0存在 (零元存在)
5. A + B = 0となるベクトルB存在 (逆元 inverse element 存在)
6. ベクトルのスカラー倍はまたベクトルである
7. 実数 ^∃α, ^∃β → α(βA) = (αβ)A (結合法則)
8. 実数 ^∃α, ^∃β → (α + β)A = αA + βA
   ^∃A, ^∃B → α(A + B) = αA + βB (分配法則)
9. EA = 1A = A, 0A = 0, 0 = 0 成立

→ Def. 正規化

線形空間X上の有限個の元 x₁, x₂, …, x_n →

a₁x₁＋a₂x₂ + … + a_nx_n (a_k ∈ K) → x₁, x₂, …, x_nの線形結合

→ x, y, zは線形独立、a = b = c = 0以外で成立なら線形従属

bがAの列空間にあれば唯一解か不定解存在

→ ベクトルの線形独立/従属と同

内分と外分

→ OP= xを線a, bの形結合で表せ

→ OP - OA = k(OB – OP) → x – a = k(b – x)
|AP| = k|PB|, |AP|:|PB| = m:n → |AP| = (m/n)·|PB|
∴ x – a = (m/n)·(b – x)
[xについて解く] x = (na + mb)/(m + n) = n/(m + n)·a + m/(m + n)·b
[外分] m, nが異符号となる

= i, jの線形結合として一意的に決まる]
Def. 成分(方向数) → a₁, a₂
Def. 正規直交基ベクトル(基底) → i, j
a = (a₁, a₂) →
[n次へ拡張] a = (a₁, a₂, …, a_n)

内積 dot product, inner product

0 < (a, b) → 0 < θ < 90°
0 = (a, b) → θ = 90°
0 > (a, b) → 90° < θ < 180°

1. a·b = b·a
2. a·(b + c) = a·b + a·c
3. (ka)·b = k(a·b) = a·(kb), k: スカラー
4. 正規直交ベクトル i, j, k → i·i = j·j = k·k = 1, i·j = j·k = k·i = 0

= a₁a₁ + a₂a₂ + … + a_na_n = a₁² + a₂² + … + a_n²

Ex. ||a|| = |a| = √(a, a) = √(a₁² + a₂² + … + a_n²)

a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n = Σ_i=1ⁿa_ib_i

= (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)/{√(a₁² + a₂² + a₃²)√(b₁² + b₂² + b₃²)}

内積 → (a, b) = 1 + 2 + 3 = |a||b|cosθ = 6 → 2
ベクトルの余弦 → cosθ = 6/(1 + √14)

= (a² -2ab - b²)/4 = (a - b)²/4 ≥ 0 //

a·b ≤ |a||b|, 等号成立 cosθ = 0

外積 cross product

a×bは180°より小さい角を通りaからbへ右ネジを回すと進む向き
外積は3次元

a = 0, b = 0 or a // b → a × b = 0

1. a×b = -(b×a) → 長さは等しいが方向は逆
2. a×(b + c) = a×b + a×c, (b + c)×a = b×a + c×a
3. a×b = 0 ⇔ a // b [S = 0]
4. (ka)×b = k(a×b) = a×(kb)
5. 正規直交ベクトル i, j, k → i× i = j×j = k×k = 0

   j×k = i = -k×j, k×i = j = -i×k, i×j = k = -j×i

a×b = (b₁c₂ – c₁b₂, c₁a₂ – a₁c₂, a₁b₂ – b₁a₂) =

→ sinθ = |a×b|/(|a||b|)

= √{(a₂b₃ – a₃b₂)² + (a₃b₁ – a₁b₃)² + (a₁b₂ – a₂b₁)²}/

{√(a₁² + a₂² + a₃²)·√(b₁² + b₂² + b₃²)}

⇒ 固有値と固有ベクトル

Ex. 1, 2, 4, 3 → 1, 3, 4, 2 → 2個の転倒(3-2, 4-2間)

a) 3, 7, 2, 5, 1, 6, 4 → 11個の転倒
b) 3, 7, 2, 1, 5, 6, 4 → 10個の転倒 → 1-5間の転倒が減る
c) 3, 4, 2, 5, 1, 6, 7 → 6個の転倒

Def. 順列 i₁, i₂, …, i_nの符号 ε(i₁, i₂, …, i_n) = -1, or 1
Def. 偶順列 → ε(i₁, i₂, …, i_n) = +1
Def. 奇順列 → ε(i₁, i₂, …, i_n) = -1

ε(i₁, …, i_j, …, i_k, …, i_n) = -ε(i₁, …, i_k, …, i_j, …, i_n)
[≡ いずれを入れ換えても符号が変わる]

2) k > j + 1 → i₁, …, i_k, …, i_j, …, i_nは

i₁, …, i_j, …, i_k, …, i_nからi_jを右へ(k – j)回、相隣り合う入換えを行う
次にi_kを(k – j – 1)回、左へ相隣り合う入換えを行う
相隣り合う入換えは、(k – j) + (k – j – 1) = {2(k – j) – 1}回で、これは奇数回。故に符号が変わる //

行列式 (determinant)

→ n²個成分a_ijから作られるΣε_ij…k_a1ia_2j … a_nkなる式
≡ 行列Aの行列式(detA, |A|, or |aij|) (i, j, …, kの個数はn)
ε_ij = j … k = 1 (i, j …, kが偶順列のとき Ex. ε₁₂ = 1, ε₁₂₃ = 1
ε_ij = j … k = –1 (i, j …, kが奇順列のとき) Ex. ε₂₁ = -1, ε₃₂₁ = -1
ε_ij = j … k = 0 (i, j …, k中に同じ数がある) Ex. ε₁₁ = 0, ε₁₁₂ = 0

a_ij: 要素(元)
a_ii: 主項

= e₁₂₃a₁₁a₂₂a₃₃ + e₁₃₂a₁₁a₂₃a₃₂ + e₂₁₃a₁₂a₂₁a₃₃

+ e₂₃₁a₁₂a₂₃a₃₁ + e₃₁₂a₁₃a₂₁a₃₂ + e₃₂₁a₁₃a₂₂a₃₁

= a₁₁a₂₂a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃ +

a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁

Ex. = cos²x + sin²x = 1

A-_ij = (-1)^i+jA_ij, or a_ijA_ij (n次正則行列で成立)

Ex. A = = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃

– a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂

R = (αβγ) → (R) = +1 偶行列, -1 奇行列

A = = R = (αβ … γ)

→ (R) = 1: 偶行列, = -1: 奇行列

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₂₁a₃₂a₁₃

- a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ … (1)

= a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) + a₁₂(a₂₃a₃₁ - a₂₁a₃₃)

+ a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁) … (2)

(2)は1行の要素についての一次式 - 同様に2行, 3行, 1列, 2列, 3列の各要素についても作れる
a₂₁(a₁₃a₃₂ - a₁₂a₃₃) + a₂₂(a₁₁a₃₃ - a₁₃a₃₂)

+ a₂₃(a₁₂a₃₁ - a₁₁a₃₂) ___ 2行

a₁₃(a₃₂a₂₁ - a₂₂a₃₁) + a₂₃(a₁₂a₃₁ - a₁₁a₃₂)

+ a₃₃(a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁) ___ 3列

1行の要素(A₁) : A₁ =

= a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ … (3)

2行の要素(A₂): A₂ =
3列の要素(A₃): A₃ =
(3)式を次のように変える: Σ_i=1²a_1iA_1i
→ 行列式はある行(列)の要素についての1次同次式

= Σ_i=1³a_1iA_1i

= a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃ (1行)
= a₂₁A₂₁ + a₂₂A₂₂ + a₂₃A₂₃ (2行)
= a₃₁A₃₁ + a₃₂A₃₂ + a₃₃A₃₃ (3列)
= a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + a₃₁A₃₁ (1列)
= a₁₂A₁₂ + a₂₂A₂₂ + a₃₂A₃₂ (2列)
= a₁₃A₁₃ + a₂₃A₂₃ + a₃₃A₃₃ (3列)

→ Σ_i=1ⁿa_ij·A_ik = Σ_i=1ⁿa_ji·A_ki = 0 (j ≠ k)

a₁₁A₂₁ + a₁₂A₂₂ + a₁₃A₂₃ = 0
a₁₁A₃₁ + a₁₂A₃₂ + a₁₃A₃₃ = 0
a₂₁A₁₁ + a₂₂A₁₂ + a₂₃A₁₃ = 0
a₂₁A₃₁ + a₂₂A₃₂ + a₂₃A₃₃ = 0
a₃₁A₁₁ + a₃₂A₁₂ + a₃₃A₁₃ = 0
a₃₁A₂₁ + a₃₂A₂₂ + a₃₃A₂₃ = 0
a₁₁A₁₂ + a₂₁A₂₂ + a₃₁A₃₂ = 0
a₁₁A₁₃ + a₂₁A₂₃ + a₃₁A₃₃ = 0
a₁₂A₁₁ + a₂₂A₂₁ + a₃₂A₃₁ = 0
a₁₂A₁₃ + a₂₂A₂₃ + a₃₂A₃₃ = 0
a₁₃A₁₁ + a₂₃A₂₁ + a₃₃A₃₁ = 0
a₁₃A₁₂ + a₂₃A₂₂ + a₃₃A₃₂ = 0

=
= 1·(–7) + 2·(-5) + 3·(-1) = -7 –10 –3 = 0

行列式の性質(定理)

→ |A| = |A'|

A'_ik = A_ki → a_k1A'_1k + a_k2A'_2k + … + a_knA'_nk

= a_k1A'_1k + a_k2A'_2k + … + a_knA'_nk = |A|

Th. 行について成り立つことは、列についても成り立つ

Ex. A = = -

ε(i₁, …, i_j, …, i_k, …, i_n) = -ε(i₁, …, i_k, …, i_j, …, i_n)
よりR = (abc), S = (bac)
転倒個数は1個増えるか減る ∴ (R) = -(S)

→ D = -D, 2D = 0 ∴ D = 0

Ex. m =

– ma₁₂a₂₁a₃₃ – ma₁₁a₃₂a₂₃

= (ma₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₁₃ + a₁₃a₃₂a₂₁

– a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₃₂a₂₃)

= (左辺) //

Ex. |(a₁, …, ma_p, …, a_n)| = m|(a₁, …, a_p, …, a_n)|, 1 ≤ m ≤ n

Ex. = +
Ex. |(a₁, …, a_p + a_q, …, a_n)|

= |(a₁, …, a_p, …, a_n)| + |(a₁, …, a_q, …, a_n)|

Ex. =

|(a₁, …, a_p + ma_q, …, a_q, ···, a_n)|

= |(a₁, …, a_p, …, a_q, …, a_n)| + |(a₁, …, ma_q, …, a_q, …, a_n)|

第2項は0
∴ |(a₁, ···, a_p + ma_q, ···, a_q, ···, a_n)| = |(a₁, ···, a_p, ···, a_q, ···, a_n)|
→ 一般的には、この形を用い1つの行(列)になるべく0を作り余因子展開をし次数を下げる

Ex. = = (a - b)(b - c)

= (a - b)(b - c) = (a – b)(b – c)(c – a)

連立方程式 simultaneous equation

2つ以上の方程式の未知数が同一の値をとるときの方程式の組

* 比例式では分母が0の項については分子も0と考える(規約)

(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)x₁ = b1a₂₂ – b₂a₁₂ →

x₁ = (b₁a₂₂ – b₂a₁₂)/(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)

(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)x₂ = a₁₁b₂ – a₂₁b₁ →

x₂ = (a₁₁b₂ – a₂₁b₁)/(a₁₁a₂₂ – a₂₁a₁₂)

(上の)連立1次方程式の解
1) D₂ = 0 → x₁ = x₂ = 0
2) D₂ ≠ 0, D¹₂ = 0, D²₂ = 0 → x₁ = D1₂/D , x₂ = D²₂/D

[x₁, x₂が0以外の解を持つ]

とすれば前問に戻る

x₁ = D¹₂/D , x₂ = D²₂/D →

c₁a₁ + c₂a₂ + … + c_na_n = 0
a) |A| ≠ 0 → c₁ = c₂ = … = c_n = 0の時に限り成立
b) |A| = 0 → c₁, c₂, …, c_nのうち少なくとも1つ0でないものがあって成立

AB = =

= (b₁₁b₂₂) + (b₁₂b₂₁)
= + = (左辺) //

→ a(A + B) = aA + aB, (a + b)A = aA + bA, a(bA) = abA

→ a(a_ij + b_ij) = aa_ij + ab_ij, (a + b)a_ij = a_ij + b_ij, a(ba_ij) = aba_ij

終結式 resultant

共通根 x を出す条件を探す
必要条件:
x²f(x) = a₀x⁴ + a₁x³ + a₂x²_________= 0
xf(x) =_______a₀x³ + a₁x² + a2x____= 0
f(x) =_____________ a₀x² + a₁x + a₂ = 0
xg(x) = b₀x⁴ + b₁x³ + b₂x² + b₃x_____= 0
g(x) =_______b₀x³ + b₁x² + b₂x + b₃_= 0 ⇒
R(f, g) = : xを持つための必要条件
十分条件: R(f, g) := |A| = 0 ⇒
cA = 0, ^∃c = (c₁ c₂ c₃ c₄ c₅) ≠ 0
^∀x :=(x₄ x₃ x₂ x₁ 1), Ax = (x²f(x) xf(x) f(x) xg(x) g(x))
∴ c(Ax) = c₁x²f(x) + c₂xf(x) + c₃f(x) + c₄xg(x) + c₅g(x)

= (cA)x = 0x = 0

∴ (c₁x² + c₂x + c₃)f(x) + (c₄x + c₅)g(x) = 0
__ F(x) = (c₁x² + c₂x + c₃)f(x) = -(c₄x + c₅)g(x) ≠ 0
Set α₁, α₂: f(x) = 0の2根, β₁, β₂, β₃: g(x) = 0の3根 ⇒
F(x) = 0の根は:

Case. c₄ ≠ 0: {α₁, α₂, α₃, α₄} = {β₁, β₂, β₃, β₄}
Case. c₄ = 0: {α₁, α₂, α₃} = {β₁, β₂, β₃}

いずれもα₁, α₂とβ₁, β₂, β₃との間に等しいもの(共通根)が存在

R(f, g) = ⇒ Def. 終結式

R(f, g) = 0

左辺の係数が全て0になる方程式が1つでも発生したら線形従属
↔ なければ線形独立

m × n個の数a_ijを長方形に並べたもの
A = = (a_ij) = [a_ij]      Def. 列: 第j列 =

Def. 行: 第i行 = (a_i1, a_i2, …, a_in)

(a_ijは式・関数もある)

Def. 実行列: 成分が全て実数の行列
Def. 複素行列: 成分が全て複素数である行列

Def. 対角成分 ≡ a_kk (k = 1, 2, … n)

→ 正方行列 A = (a_ij), i > j → a_ij = 0 (or i < j → a_ij = 0)

→ 対角成分の和, trA or tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn = Σ_i=1ⁿa_ii

相等: ^∀ij, a_ij = b_ij → A = B
加法(減法): A, Bの和(差): A ± B = (a_ij ± b_ij)j

数の加法に関し交換法則が成立 a_ij + b_ij = b_ij + a_ij
行列の相等の定義により A + B = B + A

((a_ij + b_ij) + c_ij) = (a_ij + (b_ij + c_ij)) [数に関し交換法則成立] = A + (B + C)

A + (B + C)のij元はa_ij + (b_ij + c_ij) [数に関し加法に関し結合法則成立]
= (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij)
∴ (A + B) + Cのij元とA + (B + C)のij元は等しい →
行列の相等の定義より(A + B) + C = A + (B + C) //

実数と行列の積(スカラー倍)

(a_ij + b_ij) = aa_ij + ab_ij (∵ 数字について分配法則成立)

∴ a(A + B) = aA + aB [別解: 元で解く]<

(a + b)a_ij = aa_ij + ba_ij (∵ 数字について分配法則成立)

∴ (a + b)A = aA + bA

∴ a(bA) = abA

3A − 2B + Cを求めよ
a₁₁ = 0, a₁₂ = 2, a₁₃ = 1, a₂₁ = −1, a₂₂ = 0, a₂₃ = 3
b₁₁ = 1, b₁₂ = −3, b₁₃ = 2, b₂₁ = 2, b₂₂= −1, b₂₃ = 0
c₁₁ = 3, c₁₂ = −1, c₁₃ = 0, c₂₁ = −2, c₂₂ = 3, c₂₃ = 1

d₁₁ = 1, d₁₂ = 11, d₁₃ = −1, d₂₁ = −9, d₂₂ = 5, d₂₃ = 10

行列の積 multiplying matrices

→ c_ij = Σ_s=1ⁿa_isb_sjが(ij)となるCをABの積
AB =

= = C

AE = A: 行列式をとると値は必ず 1
→ 行列式をとると値(スカラー)になる [行列は値ではない]

δ_ij = 1 (i = j), or 0 (others)
クロネッカーのδ記号による単位行列表現: E_n = (δ_ij)

BA = =
Def. AB ≠ BA ⇒ 非可換 = 乗法交換法則不成立
Def. AB = BA ⇒ 可換(交換可能)

Def. P, Q: 零因子 zero divisor, or nil factor

BA = = =

= (Σ_s=1ⁿa_isb_s1)c_1j + (Σ_s=1ⁿa_isb_s2)c_2j + … + (Σ_s=1ⁿa_isb_sl)c_lj
= (a_i1b₁₁ + a_i2b₂₁ + … + a_inb_n1)c_1j

+ (a_i1b₁₂ + a_i2b₂₂ + … + a_inb_n2)c_2j + …
+ (a_i1b_1l + a_i2b_2l + … + a_inb_nl)c_lj