• 古典力学(物理学) classical dynamics (physics): 独立体系である
• 電磁気学: クーロンの法則, アンペールの法則[ビオサバールの法則], ファラデー電磁誘導法則, + マックスウェル電磁方程式
• 熱力学: 1) エネルギー保存, 2) 熱は低温物体から高温物体に独りでに移らない, 3) 0 K下エントロピー = 0
• 物性物理学: 固体 = 金属・半導体・磁性体・誘導体・超誘導体 … 高分子等, 液体 = 液体金属・液体He等, 気体 = ガスレーザー等

[ 宇宙 ] - 宇宙物理学 (惑星科学)
__| 相対性理論 (相対論): 動者・停者の相対性を追求
[ 星雲 ]
[ 天体 ]   ⇅ ニュートン力学
[ マクロ物体 ]
__|_┌ [ 生物 ] - 生物物理学
[ 分子 ] …… [ 物質 ] 統計力学: 実験の統計上から物事を推測判断
[ 原子 ] …… [ 元素 ] 量子力学
[ 素粒子 ] 素粒子論: 電子・陽子・中性子・μ・ν・σ・τ・Λ・Ξ・Σ   ?

[自然科学概論]

物質観 (原子論 atomic theory)

原子atom: ギリシア語 ατομζ (分割されない)が語源 – 物質を形作る最小単位とした(Demokritos命名)

インド原子論

中国陰陽五行説

陰陽: 山の日陰、日当たり → 抽象原理
五行: 木火金土水(日常生活に欠くべかざる物質) → 宇宙を支配する自然勢力 [行: → 道・原則]

アラビア・フェニキア原子論

アルファベット: 1音1音が構成要素、分解再構成可能 ⇔ 漢字: 分解不可
アルファベット圏で原子論発達 → 古代思想との1つ1つとのつながりを考察出来る

ギリシア原子論

現代の自然学の位置付け
複雑な自然の統一認識: 古代 =原子論(目的: 懸命に思慮深く生きる) ⇔ 現代 = 統一認識の新たな内容
現代の課題への答え → 現代の課題(人類の発展性) 現代自然学の最も重要なテーマ

我々が生きるのは月より下の世界 → 4大元素(火・空気・地・水)からなる
月より「上の」世界はアイテル(エーテル)と呼ぶ永遠不変のもので形作られる

– 近代的”原因”概念に近い

第1性質: 原子の属性 = 形状・大小・軽重・疎密・硬軟の5種
第2性質: 原子の配列により、色・香・味・冷熱等の属性が決まる

→ 目に見えないものから理解するのではなく、目に見える物から合理的・論理的に理解
→ 自然は多様、かつ統一的。この自然の本体を知るべく、ギリシア原子論への道へ至る

原子と空虚

単一元素elementによる自然認識 / 生成消滅変化連動
→ 変化運動否定
→ 原子と空虚 (現代原子論と共通の概念)

イデアidea: 実在の最高のもの – 消滅も変化もしない
コーラ(空間): 物体のイデアの中間にある実在 [物体 ↔ コーラ ↔ イデア] (場の理論に近い)

空間は無限小を取り得る → 運動の存在否定 → 時間は実在ではない

原子と空虚は永遠の存在 → 消滅した物体も再生 → 循環的時間感

1. 時間の最小数は1 → 時間は連続であり最小の大きさはない
2. 時間は「多い、少ない」か「長い、短い」と言わねばならない
3. 同じ時間はあらゆる場所で同一 → 前後に同一の時間はありえない
4. 時間で運動を計る ⇔ 運動で時間を計る

物質の原子的構成

1. 広がり有限、数種類の実際に存在する実態(イオニア学派)
2. 不可分・量的差異・(その原子の)結合分離で全現象再現(エレア学派)
3. 真空(= 空虚)の存在

→ 類似点: 多様性と統一性の根拠を、自然(実際)を直接見て得た論理的考察による必然的帰結
結論の導きかたは現代原子論とギリシア科学は全く同じ。ここから、現代原子論は導かれたともいえる

自然状態下での安定度を知る事はさらに重要

誕生した課題 = 原子の発見

相対性理論への歴史

電磁気学-相対性理論

1745 ライデン瓶(オランダ、ライデンの学者により発明) = 電気貯蔵装置 → キャパシタ(コンデンサー)

→ 重力と同様に電気や磁気の力の大きさを測る試み

2金属張合わせたピンセットで筋肉に触れると筋肉収縮 → 筋肉運動に(生物)電気関係 → Volta電池

2種金属を酸中につけ酸の外で端を繋ぐ = 電流発生
⊖Zn|H₂OO₄|Cu⊕ (イオン化傾向: Zn > Cu)

⊖ Zn → Zn²⁺ + 2e^-______ 電子製造
_____________↓ 外線___電子運搬
⊕______2H⁺ + 2e^- → H₂↑ 電子消費
Total: Zn + 2H⁺ → Zn²⁺ + H₂↑__≡ 亜鉛が希酸に溶ける式

一瞬だけ得た電流を連続し流せる = 定常電流 [イオン化傾向大 ⇒ ⊖ ]
実験可能: 電気盆・検電器・蓄電器発明

電気・磁気は周りに場を作り、その力を周りに及ぼす
(現在) 電荷・電流はその周りに場を作り、場は近くや遠くに力を及ぼすと考える(場は電磁気学で最重要)

クルックス管 Crookes tube: 真空放電実験を行う、内部に陰極をもつ真空ガラス管(真空度 < 0.1 T)

→ ファラデーやマックスウェルの理論認められる
→ 電磁気学: マックスウェル完成 → 相対性理論

光学

電磁気学の応用

電池 cell

⊖ Zn → Zn²⁺ + 2e^-____________電子製造
_____________↓ 外線________ 電子運搬
⊕______2H⁺ + 2e^- → 2H (H₂)↑__電子消費
_________┌─────┐
減極剤 (MnO₂) 2H + O → H₂O__水素消費
Total__Zn + 2H⁺ + O → Zn²⁺ + H₂O

⊖Zn|ZnSO_4(aq)|CuSO_4(aq)|Cu⊕ → 起電力1.1 V

__________________放電/2e^-
Pb_⊖ + PbO_2⊕ + 2H₂SO_4⊖ → PbSO_4⊕ + PbSO₄ + 2H₂O

充電 (battery) charge: 放電の逆反応

放電機構
⊖__________ 2H₂ → 4H₂O + 4e^-
⊕ O₂ + 2H₂O + 4e- → 4OH^-
Total____2H₂ + O₂ → 2H₂O

物理的性質(物理的特性) physical property +
物理変化(物理的変化) physical change

質点 mass point (or material point)の力学

慣性質量 inertial mass: 動かし難さから定義
重力質量 gravitational mass: 万有引力による重さの度合いとして定義

→ 質点, s: 3次元ユークリッド空間に値を持つ時間tの関数
Ex. s = s(t)] = 質点の全部分が同じ運動 motion

絶対空間 absolute space: Newton力学の根本概念 → 瞬間的に力が伝わる。固定できる座標がある

変化量(変化) variation

Δr(t) = r(t + Δt) – r(t) → v(t) = lim_Δt→0Δr(t)/Δt = Δr/dt

(一般にv, e_tも時間と共に変化) [以降t省略]
e_x, e_y, e_z: 単位ベクトル(絶対値は1)
v = v_xe_x + v_ye_y + v_ze_z, v_x = d_x/dt, v_y = d_y/dt, v_z = v_z/dt
∴ v = [(dx/dt)₂ + (dy/dt)₂ + (dz/dt)₂]_1/2

= lim_Δt→0(1/Δt)·[(Δx)² + (Δy)² + (Δz)²]^1/2
= lim_Δt→0(Δs/Δt) = ds/dt

v(t) = d_r(t)/dt·e_r(t) + r(t)·de_r(t)/dt
Δe_r = e_r(t + Δt) – e_r(t)
Δe_r/dt = lim_Δt→0Δe_r/Δt = (lim_Δt→0Δθ/Δt)e_θ = ω_eθ

O: 回転軸(回転の中心) pivot point

O: 回転軸 axis
(of rotation)

ω ≡ dφ/dt → v = rωe_φ, v = rω
記号: 反時計回り 正(+) / 時計回り 負(–)
ホドグラフ hodograph: 速度ベクトルが張る空間上で、時間と共にv(t)が変化するその端点が描く曲線

α > 0: 正の加速度 ↔ α < 0: 負の加速度 negative accelaration

平均加速度 average acceleration

平行四辺形の法則
parralleogram law

A – B = C, A = B + C

α = –rω²e_r = –(v²/r)e_r
→ rと逆向きに平行

r(t + Δt) = (x + Δx, y + Δy, z + Δz)
Δθ = ωΔt, Δv = vΔθ = rω²Δt
v = lim_Δt→0{(r(t + Δt) – r(t))/Δt} = lim_Δt→0Δr/dt = dr/dt
→ v_x = lim{x(t + Δt) – x(t)}/Δt = dx(t)/dt = x'(t), vy = y'(t), vz = z'(t)

∴ α = lim_Δt→0(Δv/Δt) = dv/dt

v (or α)各成分がx'(t)等(x''(t) …) → x, y, z座標が慣性系である必要

ニュートンの3大法則 (Newton's three laws of motion)

第1法則 first law (慣性の法則 law of inertia)

慣性(座標)系 inertia (coordiante) system: 慣性の法則が成り立つ座標 Ex. 等速度 = 慣性系
↔ 非慣性 系noninertial system (noninertial frame of reference)

→ 重力9.8 m/s²に比べ十分小

→ 加速度は両質点を結ぶ直線に沿い互いに逆向きで、その大きさの比は質点運動状態によらず一定

m₁/m₂ = α₂/α₁ → m₁α₁ + m₂α₂ = 0
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'

→ m₁(v₁ – v₁') + m₂(v₂ – v₂') = 0

∴ m₁Δv₁ + m₂Δv₂ = 0

●m₁m₁'   ●m₂m₂'
 ↓f₁           ↓f₂

f₁ = km₁', f₂ = km₂':
m₁', m₂’も重力加速度と同じg
km₁' = f₁ = m₁g, km₂' = f₂ = m₂g
∴ km'₁/km'₂ = m₁g/m₂g → m'₁/m'₂ = m₁/m₂, m'₁/m₁ = g/k = constant
→ 重力 = 慣性質量: 実験結果(一般相対性理論の基礎)

第2法則 second law

m: 比例定数 (運動で慣性 inertia を表わす慣性質量)
Ex. バネによる力 = 手で押す → 直感的な力, (目で見えない力) → 直感的でない力

Ex. バネ秤で測定される物質の量 (物理量 physical quantity)

グラム重 gram-weight (gram-atomic weight): 質量1 gの物体に作用する重力の大きさ, [単位] g重

基準物体により単位重量(1 kg)を定める

= 1 m/sec²の加速度を生じる

第3法則 third law (作用・反作用の法則 law of action and reaction)

  ●
  ↓    f ≡ 作用: 地球が石を引く
  ↑   -f ≡ 反作用: 石が地球を引く

作用点 point of action → 作用線 line of action

(作用の力 action force ↔ 反作用の力 reaction force)
dp₁/dt = f₁₂, dp₂/dt = f₂₁ ∴ dp₁/dt + dp₂/dt = 0

運動量の和 p₁ + p₂ = constant
積分実行 p₂ – p₁ = ∫_t1^t₂fdt = J
→ Def. 力積 impulse (撃力 impulsive force), J

Ex. 磁力(磁気力) magnetic force:
+– = 引き合う ↔ ++ = 反発する(抵抗する) repel

= 垂直力(法線力) normal component (of force)
→ 接触面を通して面に垂直に相手の物体に作用する力
Ex. R: DがBを押し上げる(fとRが釣り合ってBは静止)

fの反作用 = -f (BがEを引く) ↔ Rの反作用 = -R (BがDを押上げる)

(機械や道具に)加える力/作用させる力 effort (effort force)

一次元(直線上)運動 [非直線運動 nonlinear motion]

v(t) = dx(t)/dt, v(0) = constant, f = mα   (α = d²x(t)/dt²)
両辺tで積分 (t = 0 - t) → ∫₀^tfdt = ft,   ∫₀^t{m·d²x(t)/dt²}dt = m[dx(t)/dt]₀^t

= m{v(t) – v(0)}

∫₀^tfdt = m{x(t) – x(0)} – mv(0)t, ∫₀^t(∫₀^tfdt)dt = 1/2·ft²
∴ x(t) = f/2m·t² + v(0)t + x(0)

[v₀', v₀'': 積分定数、初期条件initial condition (IC)によって定まる]

∴ mv(t) = ft + v₀'' - v₀' ≡ ft + v₀''' [v₀'' - v₀' = v₀''']

a, b, c: constant, f(t): 既知関数, x(t): 未知関数 → 求めたい関数

Ex. a = m, b = 0, c = -f, f(t) = 0 … (6),
___φ(t; a, b) = 1/2·f/m·t² + v₀t + x₀ … (7),
___A = v₀, B = x₀

(7)式は(6)式のもとに(5)式の微分方程式を満足する

∴ f = 0 → 合力 resultant force = 0: 実際は空気抵抗(R)等の抵抗存在

自由落下free fallする物体質量(m)
ガリレイ「全ての石の落下加速度は等しい」

重力, g → mα = mg, dx(t)/dt =dz(t)/dt = v(t)
α = Δv/Δt = dv/dt, v = Δz/Δt = dz/dt = -2kt ∴ α = d²z/dt² = -2k

重力加速度 gravity acceleration, acceleration of gravity) ≈ 9.8 m/s²
→ 等加速度直線運動 linear motion of accerelaration

等加速度運動 uniform accelerated motion

≡ 速度vに比例する抵抗(粘性から生じる摩擦力) ⇒
β_v ∝ v ∴ β_v = η·v   (η ≡ 粘性抵抗係数 - 物質の形状・大きさに依存)

速度vで運動する半径rの球状物体に対する気体・液体のβ_v

成立条件: Re (レイノルズ数) < 1-2

≡ 速度vの2乗に比例する抵抗
密度ρの液体・気体中を速さvで運動する物体の β_v² = -1/2·CρAv²
Ex. 飛行中の飛行機が受ける抵抗力

雨滴の受ける力 f = mg – R = mg - β_v
R: 空気抵抗 air resistance
m(d²z(t)/dt²) = mg – β_v … (1) 積分定数2個, or
m(dv(t)/dt) = mg – β_v … (2) 積分定数1個
物理的結果予測: t = 0, v(0) = 0, t → ∞, dv(t)/dt → 0

∴ v(∞) = mg – β_v = 0 ∴ v(∞) = mg/β //

終端速度, v(t) = mg/β = {(4π/3)(ρr³)g}/(6πηr) = (2r²g)/9

= 運動量の変化 → 力が働けばJは必ず変化
ΔJ: a, b共に同じ → Δt_a > Δt_b → J_a < J_b
mv₀の運動量を持つ物体に瞬間的な力fを加えると、運動量変化し値がmv₁に変わる

角力積 angular impulse

→ f·Δt = mv₁ – mv₀ [運動量の変化は力積に等しい]
Ex. 等速円運動
Ex. 滑かな束縛力 (ジェットコースタ: 元の高さに上がる → 全エネルギー変化しない)
滑かな束縛力は仕事0: この場合抗力Rが束縛力

= 1/2·mv² – 1/2·mv₀²

→ E_p = mgz: xに無関係
→ (重)力に垂直な方向に働いても位置エネルギー不変

Ex. 重力場、クーロン力、バネ力(力場ではない Ex. 摩擦力)

= 外部からの仕事(外からされた仕事) external work
→ W = Fd,

F: 物体を動かした力,
d: 物体の移動距離
単位: Nm (= J = kg·m²/s²)

移動距離が0 → 力を加えても仕事は0

Ex. 重量挙げ: 持ち上げた高さh

→ W = gmh → 位置エネルギー
落下させれば、運動エネルギーに変化
→ 地面に衝突すれば熱や音のエネルギーに変化

→ P = W/t,

単位: 1 J/s = 1 W (ワット)

W_A→Bが途中の筋道に無関係な時、この力場は仕事エネルギーを持つ
A-B点の位置エネルギー差: U(B) – U(A) = W_A→B > 0 → 保存力場

W_A→C→B = W_A→C + W_C→B = W_A→B = mgz

Law. 逆2乗の法則 inverse-square law: 定量値発生源からの距離の2乗に反比例

→ 光強度、万有引力、クーロン力

= 弾性力による位置エネルギー elastic potential energy,
E_P = 1/2·kx²

保存力場における運動 → 力学的エネルギーは保存

E_K = 1/2mv² (v² = |v^→2| = v^→·v^→ = v²cosθ = v² (∵ θ = 0))
→ 1) E_K ∝ m, v²
→ 2) 係数1/2がないと保存力は見出せない

|  ↑
|  ● -g

Ex. 鉛直投げ上げ運動 → 鉛直上方への加速度-gの等加速度直線運動

t = t₀, x₀, v₀ → t = t, x, v → v² – v₀² = 2α(x – x₀)

2次・3次元移動

A = (A_x, A_y, A_z)
|A| = A_x² + A_y² + A_z²
(A ± B) = (A_x ± B_x, A_y ± B_y, A_z ± B_z)

分力(力の成分) component force (component of force) 力の合成 composition of forces ↔ 力の分解 decomposition of force

運動方程式: x, y, z座標系

1. 運動方程式を立てる物体を決める。その物体に働く全ての力を示す
2. 適当な座標系を設ける
3. 物体の加速度の向きを座標系(x, y, z)をもとに表す
4. 内力は打ち消しあうので、物体全体の運動を考えるときには無関係なので無視してよい

初期条件v₀ = (v_x0, 0, v_z0) → y方向考える必要なし
r(0) = (0, 0, 0)
f_x = 0 = mx''(t),
f_y = 0 = my''(t) … (1)
f_z = –mg = mz''(t) … (2) → 垂直軸 vertical axis

y(t) = constant
x(t) = vx₀t … (3)
z(t) = –1/2·gt² + vz₀t … (4) → 垂直方向の速度 vertical velocity
(3), (4)からtを消去するとz(t)とx(t)との関係が求まる
t = x(t)/v_x0 ∴ z(t) = –1/2·(x(t)/v_x0)² + vz₀·x(t)/v_x0
空気抵抗を入れると破線のようになる: R^→ = -βv^→

α = dω/dt = d²θ/dt²,

ω: 角速度.
θ: 角位置 → dθ: θ時間変化率

長さlの紐の一端に質量mの石結び他端を天井に固定
石を水平面で回転

x-y軸: 石の回転する水平面
z軸: 天井の紐固定点から鉛直線の方向にとる(正は上向き)

→ 座標軸は方程式が簡単になるよう設定

運動方程式: F = mα
F = msinθ = mα = mrω² … (1)

向心力 centripetal force

r = lsinθ … (2)
Tsinθ = mlsinθω² ∴ T = mlω²
水平面で回転 → z(t) = const ∴ f_z = 0 … (3)
fz = -mg + Tcosθ = 0 ∴ T = mg/cosθ … (4)
(3), (4)からmg/cosθ = mlω²
∴ cosθ = g/lω² ≤ 1 ∴ ω² ≥ g/l

(↔ 動滑車 moving pulley)

滑車の摩擦 friction = 0
T₁ = T₂
m₁ > m₂ m₁: down, m₂: up, m₁ = m₂ 静止
m₂ > m₂, m₁の加速度 < g: m₂g < T < m₁g
運動方程式 (m₁, m₂について立てる):

zの原点はm₁,
m₂が同じ高さの点(z₁ = z₂)

m₁·d²z₁(t)/dt² = -m₁g+T … (1)
m₂·d²z₂(t)/dt² = -m₂g+T … (2)
z₂(t) = -z₁(t) … (3) 未知数 z₁(t), z₂(t), T(t)の3つであるので解決可能

力の釣合いと見かけの力 equilibrium of force and pseudo-force (fictittious force)

→ 力は釣り合っている

f_r = mα_r = mrω²

r: 回転半径 (e.g., cm)
ω: 回転角速度 (e.g., rad/s)
大きさ = 向心力(求心力), 向き = 向心力と反対

T: 糸の張力, mg: 重力

等速円運動を行う振子pendulumは静止して見える
→ 張力/遠心力/重力の3力が釣り合う

振子が等速円運動をしている
→ 求心力が働き、求心力は重力と糸の張力と糸の角度で決まる

→ 駅を見ずAを見る → Aが動き出したと感ずる

→ "重力"もみかけの力 (一般相対性理論), α₀ = –g
エレベータ内の質量mの物体に作用するみかけの力, F₀ = –mα₀ = +mg
物体に作用する重力, F = –mg ∴ F + F₀ = 0

回転体の内周と外周の速度差から外側(内側)へ向かう運動物が回転体から見て"みかけ上"方向を変える力

→ f = 4π/T (コリオリパラメータ) → mfv
フーコー Foucault, Jean Bernard Leon (1819-1868), 仏: 光速度測定, フーコーの振子により地球自転証明

l (円周) = 2πr
v = 2πrf_R, f_R: 回転数/単位時間

(ex. 秒, s^-1)

→ f_R = v/2πr
r ⊥ v [vは接線上となる]
|α| = 2πvf_R = (2πf_R)²r = v²/r

F = -m(2πf_R)²r

→ 摩擦0となる路面の傾き(θ)

α = v²/r = 20²/100 = 4 (m/s²),
mg = 重力,
N = 垂直抗力
摩擦0の条件 →

Ncosθ = mg,
Nsinθ = mv²/r = mgtanθ

v²/r = gtanθ ∴ tanθ = v²/rg = 0.4, θ = 22°
かなりの急斜面でない限り車は転倒しない

→ f_RT = 1, f_R = 1/T

(1) 回転数(f_R)
(2) 中心から4 mの所の木馬速さ(v)
(3) (2)の木馬の加速度(α)
(4) αは重力加速度(g)の何倍か

v = 2πrf_R = 2π × 4 × 0.1 = 2.5 m/s
α = v²/r = 2.52/4 = 1.6 m/s²
(1.6)/(9.8) = 0.16 (倍)

Def. 減衰振動: 外部から力を与えないと振幅が小さくなる振動 ↔ 強制振動 forced oscilation (vibration)

長さl、質量mの重り(分銅) weightの他端を天井につけ固定し振動させたもの
Ex. 質量mの物体が水平直線上でx(t) = asin(ωt)で表わされる単振動 → mに働く力

k: 弾性係数 elastic coefficient

(バネならバネ定数 → 本質的な弾性率の1つ)

x: 変形量
α = d²x/dt² = dv/dt,
v(t) = dx/dt = ωacos(ωt),
α(t) = dv/dt = –ω2asin(ωt) = -ω²x,
f(t) = mα = -mω²x = -kx

(1) 球の向心加速度と、
(2) 球に対するバネの弾力、
(3) バネ定数、
を求めよ

球の向心加速度 a = r(2πf_R)² (m/s²), (r = l₂)

(2) 球の向心力 f = mα = m·r(2πf_R)²
(3) バネ定数 k = f/(l₂ – l₁)

f = mα = –kx (k > 0: バネ定数), ω := √(k/m) → α = -ω²x
α = d²x/dt² → d²x/dt² = -ω²x → 単振動の微分方程式

a = m, b = 0, c = +k, f(t) = 0 → x(t) = x₀cos(ω₀t + α) … (1')
dx/dt = -ω₀x₀sin(ω₀t + α)
d²x/dt² = -ω₀²x₀cos(ω₀t + α) = -ω₀²x(t) … (2)
(2) → (1): m·d²x(t)/dt² = –mω₀²x₀cos(ω₀t + α)
∴ mω₀² = k or ω₀ = √(k/m) … (3)

(3)式を満足すれば(1')のx(t)は(1)式の微分方程式を満足する
(1)式の解はx(t) = x₀cos(ω₀t + α)。x₀, αはICにより決まる

f = -kx = -mω₀²x →

t =0, x(0) = 0, v(0) = v₀ (-mω₀² = k: バネ定数)

0 = x₀cosα (α = π/2)
v(t) = -ω₀x₀sin(ω₀t + α)
v(0) = v₀ = -ω₀x₀sinα = -ω₀x₀ [sinα = sin(π/2) = 1]
∴ x₀ = -v(0)/ω(0) = -v₀/ω₀
x(t) = -(v₀/ω₀)cos(ω₀t + π/2) = (v₀/ω₀)sin(ω₀t) //

f_x = mα_x … (1),
f_y = mα_y … (2),
f_x = -Tcosθ … (3),
f_z = -mg - Tsinθ … (4)
α = x''(t), x(t) = rcosθ (r = constant = l)
x'(t) = -lsinθ·θ'(t), x''(t) = -lcosθ·θ² - lsinθ·θ''
y - z: a_y = y''(t)
y(t) = lsinθ, y'(t) = lcosθ
y''(t) = –lsinθ'² + lcosθ·θ'' – Tcosθ = (–lcosθ·θ'² – lsinθ·θ'') × m … (5)
–mg – Tsinθ = (–lsinθ·θ'² + lcosθ·θ'') × m … (6)
y''(t) = –lsinθ'² + lcosθ·θ''
(5) × sinθ - (6) × cosθ
mgcosθ = (–lsin²θ·θ'' – lcos²θ·θ'') × m

= –mlθ''(sin²θ + cos²θ) = –mlθ'' … (7)

(7)式はθ(t)についての微分方程式 → 解ければ運動方程式求まる
θ(t) = -π/2 + δ(t) (δ ≤ 1)
cos(-π/2 + δ(t)) = -sinθ
θ''(t) = δ''(t)
(7)式 -mgsinδ(t) = ld''(t)
近似 sinδ ~ δ: ml·(d²δ(t)/dt²) = –(g/l)·δ(t) … (8)
→ (8) = 単振動(調和振動)方程式

δ(t) = Acos(ω₀t + r), ω₀ = √(g/l) (A, r, 初期条件で決定)

水平に置いた板や膜 = 横振動 → 上に砂を撒く → 砂は節線(殆ど振動しない部分)に集まる → クラドニ図形 (ギター胴板の振動を調べる時等に使う)

等速円運動 → 円の中心に向かって向心力が働く → これは中心力なのでlは一定
→ 等速直線運動: 原点位置によりlの大きさは異なるが時間的には一定
運動方程式(相対論力学でも成立)

f = -mgsinθ
Case. 振子の振幅小 → 近似: 重りはx軸上を動くとみなせる
運動方程式 mα = m·(d²x/dt²) = -(mg/l)·x

∴ α = (d²x/dt²) = -(g/l)·x

ω := √(g/l) → α = (d²x/dt²) = -ω²x
→ 単振子の運動は単振動である
振動数, f = ω/2π = 1/2π·√(g/l) → 周期, T = 2π/ω = 2π·√(g/l)

→ 単振子の周期Tはlのみで決まる

→ 振子の等時性 (1583年にガリレオがピサの大聖堂の時計を観察し発見, 逸話?)

g = (4π²l)/T² → 重力加速度(g)を正確に求めることが可能

対偶 pair: 複数要素 element が互いに接触し限定された運動を行う組み合わせ
機構 mechanism: 対偶の組み合わせ → 機械の運動を伝達したり、動作の変換等を行う

機械は、機構に着目すると構造を理解しやすい

理想機械 ideal machine → 不可能

運動の伝達と変換 transformation

[伝達・変換] → 受ける側 = 従動節 follower
Ex. 歯車: 原動節と従動節で回転の向き・速さが変換

→ 回転の平衡(回転のつりあい) rotational equilibrium

Ex. 机の上の物体を指で押す: fが小さい間は物体は動かない → F存在
摩擦係数 coefficient of friction

接触する物体の材質、粗さ、乾湿等の状態で決まる定数
μ < 1 → 引きずる方が楽, μ > 1 → 持ち上げて運ぶ方が楽

Ex. 斜面上の物体(0° ≤ θ ≤ 90°): N = Wcosθ, F = Wsinθ

静止の条件 F ≤ μN = μWcosθ ∴ tanθ = sinθ/cosθ ≤ μ
Ex. θ = 30° → μ ≥ 0.58, θ = 45° → μ ≥ 1.0

摩擦角 angle of friction: 傾斜を増し物体が滑り出す時の角度

物体に作用する力の斜面方向成分, F_//

= Wsinθ – F = mg(sinθ – μ'cosθ)

加速度, α = F_///m = (sinθ – μ'cosθ)/g
→ 落ち始めてからt秒後の速度, v = αt = (sinθ – μ'cosθ)/t
→ 滑り落ちた距離, s = (α/2)t² = (g/2)(sinθ – μ'cosθ)/t²

前進させる力 = エンジンの働きで誘起された道路による前向きの摩擦力
停止させる力 = ブレーキの中の動摩擦力により誘起された道路による後ろ向きの摩擦力

Ex. 直線運動(直動) liner motion, 揺動 shaking, swing

→ 回転中心 center of rotation と瞬間中心 instantanueous center: 円以外では異なる
転がり接触 rolling contact: 相対速度の生じない接触

Ex. 回転rotation, revolution, 旋回gyration

1. 歯車(ギア) gear 伝動装置

ピッチ円直径 diametral pitch, mm, D_p = m·Z
歯先の丈 addendum, mm, H₁ = m
歯元の丈 dedendum, mm, H₂ ≥ 1.25 × m
歯先円直径, mm, D₂ = m(Z + 2)
二軸の中心間距離, mm, C = (D_p1 + D_p2)/2

= m(Z₁ + Z₂)/2

応用:
水車 water turbine
はずみ車(フライホイール) flywheel: 回転維持に使う重い車

Ex. ゼンマイ、ガソリンエンジン gasoline engine

2. リンク機構 link mechanism

Ex. (三節リンク = 構造体), 四節リンク = 運動変換に利用, (多節リンク = 動き限定できない)
回転節: クランク crank = 回転運動を行なう節

Ex. クランクシャフト crankshaft

揺動節: レバ lever = 限定された範囲を揺動する節
連接節: ロッドconnecting rod = 原動節と従動節を連接する節

3. カム機構 cam mechanism

円盤カム

円板カム plate cam: 回転円板の円周側面に従動節設けたもの
確動カム positive cam: 従動節運動を往復ともに強制的に駆動する

Ex. エンジンのカムシャフト

立体カム solid cam: 回転球体表面や三次元形状による変位を利用し従動節駆動
平面カム plane cam: 回転体平面部分に設けた溝・突起を利用し従動節を変位

てこ lever

加える力の腕の長さ effort arm (effort distance)
固定端 fixed end: 固定され自由に変位できない場合の系の呼び名 → 自由端 free end

N:: ものを回すときの強さ(とイメージ) → 力の能率
r: 作用点から回転の中心までの距離と方向(OP^→),
f: 力,
p: 運動量

r: 腕の長さ torque arm

N = rsinθ [中心力 central forceならばr = constant]
「モーメントが釣り合っていれば回転しない」
[トルク単位] ニュートンメーター newton-meter, N·m (稀, kg·m)

P₁[P₂]の力によるO点に関するモーメント M₁ = +P₁l₁ [M₂ = -P₂l₂]
O点に関するモーメント, M_O = +P₁l₁ – P₂l₂
→ Case. M_O = 0 → モーメントが釣り合っている(回転しない)

→ P₁/P₂ = l₂/l₁, or P₁l₁ = P₂l₂

Oに関するモーメントM_Oを考える

M_O = -P₁l₁ - P₂l₂ -P₃l₃ + P_xl_x = 0 [釣り合う場合]
P_x = - P₁ - P₂ - P₃
l_x = (P₁l₁ + P₂l₂ + P₃l3)/(P₁ + P₂ + P₃) → 合力のOからの距離

→ W = Σ_i=1ⁿm_ig = mg := 0 → 重心が求まる

道具類

エンジン engine

圧縮過程 compression stroke
スパークプラグ spark plug: 爆発に必要な火花を出す装置
ラジエータ radiator: 暖房装置の放熱器、水冷エンジンの冷却器
自動推進体(発射体) projectile Ex. ロケット

Ex. アクセル → 車加速 → 働く摩擦力 = 駆動力
Ex. ブレーキ(制動機: 機械としてのブレーキ) → 車減速 → 駆動力と逆向きに働く摩擦力 = 制動力
Def. 減速度 deceleration, α = f·(g/W), W: 過重, f: ブレーキ力, g: 重力

質点系の運動量と角運動量

剛体として扱えるか否かは問題による
Ex. 鉄球(鋼、鋼鉄 steel)の転がり運動 = 剛体

vs 鉄球を叩くときに出る音 = 弾性体(変形し音が出る)

全体としてのエネルギー(重心の運動エネルギーと重心の周りの運動エネルギー)が無視できる位小さい

m₁, F₁__m₂, F₂
__〇_↔_〇

外力に応じ単体で存在し得ず、発生しても合力は0
力発生 → 物体に内力と反対方向に大きさが同じ力発生 (運動第3法則) → 力は物体内部伝達
∴ F₁ = –F₂
m₁·d²α₁/dt² + m₂d²α₂/dt² = 0, 外力0 → 全運動量の保存 conservation of total momentum
第2, 3法則から導出 - 内力の性質によらない(保存力 conservative forces: 摩擦力等いかなる力でも可)

重心 center of gravity (質量重心 center of mass)

→ 質量は全質量が重心に集まった様に振る舞う

1. 重心の運動は全質量が重心に集まり、全外力が重心に集中したと考えた質点運動と同じ(内力無関係)
2. 重力場における位置エネルギーは全質量が重心に集まったときのそれに等しい
3. 重力における重心の回りのモーメントはD

点m_iにおける運動エネルギー, E_Ki

= 1/2·m_iv_i² = 1/2·m_i(r_iω)²

→ 円盤全体の運動エネルギー, E_K

= Σ1/2·m_i(riω)² = 1/2·ω²Σm_ir_i² := 1/2·ω²I

ρ = kg/m³, M = ρV = ρπl(b² - a²)
I = Σm_ir_i⊥² = ∫_a^br²ρdr·2πr = 2πlρ∫_a^br³dr = 2πlr[r⁴/4]_a^b

= 1/2·πlr(b² + a²)(b² – a²) = M/2·(b² + a²)

慣性モーメントは中心軸を指定しておく必要

→ I = I_G + md², d: Gとz間の距離

細長い棒: I_G = 1/12·mL²

半径 R, 質量 M. 振子針金 → 長さ L, 質量 m (L > R)
I_G = 2/5·MR², d = L + R
→ 振子の慣性モーメント, I₁ = IG + M(L + R)²
→ 針金の慣性モーメント, I₂ = 1/3·mL²
I = I₁ + I₂ = IG + M(L + R)² + 1/3·mL²

細長い棒: I = 1/3·mL²

接線方向の運動方程式 F_t = mα_t
F_tr = N = mα_tr = m(rα)r = mr²α
剛体を点集合と仮定 → N_i = m_ir_i²α
N = Σ_iN_i = Σ_im_ir_i²α = (Σ_im_ir_i²)α = Iα ∴ Iα = N, I(d²θ/dt²) = N
剛体では微小部分間に働く力は釣り合う → 内力は考えないでよい

→ 外力による → dI/dt ≠ 0

→ 物体固定軸の周りの角運動量は一定

回転の慣性 rotational inertia
Ex. 駒を回す → 静かに立てても立たない → 回転している時は直立続く

α: 重心加速度,
F: 剛体各部分に作用する外力の合力(ベクトル和)

I_G: 剛体の重心を通りz軸に平行な直線の周りの慣性モーメント
N: 剛体に作用する外力のこの直線の周りのモーメント和
α: 重心の周りの回転角加速度

r: 円柱(円筒・球・球殻)の半径
G: 円柱の重心
ω: 重心の周りの角速度

滑らない → 摩擦熱はない = 力学的エネルギー保存
V: 重心速度(並進速度)

-rω: 点Pにおける回転速度
v_P = 0: v_P, 接点Pにおける速度 → 滑らないので0
V = rω → 重心速度と回転速度は打ち消しあう → ω = V/rの回転運動
→ (c) = (a) + (b)

これは質点の運動エネルギーmv²/2の[1 + (I_G/mr²)]

1/[1 + (I_G/mr²)] + (I_G/mr²)/[1 + (IG/mr²)]
右辺第1項 = 重心運動の運動エネルギー
右辺第2項 = 回転運動の運動エネルギー
→ 重心の速さ: 斜面を滑り落ちる場合の1/√{1 + (I_G/mr²)}倍

I_G/mr² 大 → 遅く落ちる

2つの質点の運動(質点間に力が働くとき)

衝突前速度: v₁, v₂ → 衝突後速度: v₁', v₂'

→ 運動量 p₁ = m₁v₁, p₂ = m₂v₂, p'₁ = m₁v'₁, p'₂ = m₂v'₂

運動量保存則 p₁ + p₂ = p₁' + p₂'
内力の具体的振る舞いを知ればv₁', v₂' が求まる
(そうでなければ、求まらない)
v₁'式が与えられれば反撥係数を用いv₂'を求められる

1球の衝突での反撥係数 e = v'₁/v₁, 0 ≤ e ≤ 1
2球の衝突での反撥係数 e = (v'₁ – v'₂)/(v₁ – v₂)

v'₁ = {(m₁ – e·m₂)v₁ + m₂(1 + e)v₂}/(m₁ + m₂)
→ v'₁ = v₁ – {m₂(1 + e)/(m₁ + m₂)}/(v₁ – v₂)
v'₂ = {m₁(1 + e)v₁ + (m₂ – e·m₁)v₂}/(m₁ + m₂)
→ v'₂ = v₂ –{m₁(1 + e)/(m₁ + m₂)}/(v₁ – v₂)
v'₁ ≤ v₁, v'₂ ≤ v'₂, v'₁ ≤ v'₂
Case, m₁ = m₂, e = 1 → v'₁ = v₂, v'₂ = v₁ → 速度交換
Case, v₂ = 0 → v'₁ = (m₁ – m₂e)/(m₁ + m₂)·v₁ → 跳ね返る

μ = m₁m₂/(m₁ + m₂), or 1/μ = 1/m₁ + 1/m₂

Def. μ: 換算質量 reduced mass
m₂ ≫ m₁: μ ~ m₁ vs m₂ ≪ m₁:μ ~ m₂

2体の運動は1体の運動と重心の運動に分離出来る
= 2つの質点の運動までは完全に解ける (3つ以上では特別の場合を除き解けない)

2つの力によるモーメントは、それぞれの力の作用する点間を位置ベクトル r → N = r × F

N: 偶力モーメント moment of a couple, F: 力(偶力), ×: 外積

剛体に働く任意の力は、1組の偶力と、剛体の重心を並進させる力に分解できる

= Σ1/2·m_iv_i² = 1/2Σm_i(r_i⊥)ω² = 1/2Σ(m_ir_i⊥)ω² – 1/2·Iω²
剛体の運動エネルギー E = 1/2·M_vG² + 1/2·I'ω'²

I': 重心を回る軸の回りの慣性モーメント, ω': 重心の回りの角速度

1. 問題に応じ(1) + (2)又は(1') + (2)を組み合わせ解く
2. (2)式は抗力Rを求めるため使われること多
3. (1), (1')式どちらを使うかは出来るだけRを含まないように選ぶと良い
   但し(2)が複雑にならない場合はこの限りでない
   Ex. 1 斜面を転がる円筒, Ex. 2 実体振子

微小重力 microgravity: 無重力に近似可能な状態 [近似可能な状態]

→ 床から受ける垂直抗力Nを計算

= 490 kg·m/s² = 490 N (= 50 kgf)
1) 静止 → 重力 = 抗力 → 抗力 = 490 N, or 50 kgf
2) 降下 → 人の運動方程式: mα = W – N = mg – N

∴ N = mg – mα = m(g – α) = 50 (9.8 – 1) N = 440 N = 45 kgf

→ エレベータが降下している間、体重が5 kg軽くなったように感じる

2物体間に働く万有引力attractionの大きさF

1) 2物体の質量Mとmの積のMmに比例
2) 物体間の距離rの2乗に反比例

= 6.67259 (≈ 6.67) × 10^-11 Nm²/kg²
Case 地球: M = M_E, r = r_E → mg = G·mM_E/r_E²

2個の球間に働く万有引力の大きさFは

人工衛星の結合エネルギー binding energy of a satellite

→ 固定点 = 力の中心
Ex. O: (地球の)中心, r: (地球の)半径, m: (人工衛星の)質量

→ mg: 重力 = 中心力

v: 人工衛星速度 → 運動方程式: mg = mv²/r ∴ v² = rg
地球: r ≈ 6370 km

→ v = √{(6.37 × 10⁶ m) × (9.8 m/s²)} = 7.9 × 10³ m/s

軌道上の速度 orbital velocity: 人工衛星は7.9 km/s (= 周期84分)で動く

地球と月

→ g_M/g = R_E²/r²
g_M = (R_E²/r_M²)·g = (9.8 m/s²)/3600

= 2.7 × 10^-3 m/s²

→ v_MT_M = 2πr_M

→ α_M = v_M²/r_M = (2πr_M/T_M)²·(1/r_M) = 60R_E·(2π/T_M)²
α_M = 60 × 6.37 × 10⁶ m × 2π/(2.36 × 10⁶ s) = 2.7 × 10³ m/s²

→ 位置エネルギー存在, E = E_K + E_P = constant
距離rの2物体をゆっくり無限大(∞)まで引き離す時に外力がする仕事,

W = ∫_r^∞G·(mM/r²)dr ≈ G·(Mm/r)

距離rの2物体間の万有引力による位置エネルギー, U(r) →

W = U(∞) – U(r) = -U(r)
∴ U(r) = -G·(Mm/r)

物理的考察
E < 0: r₁ ≤ r ≤ r₂________楕円
E = 0: r_m ≤ r → ∞, r' → 0_放物線
E > 0: rm < r → ∞, r' → 0_双曲線 hyperbola

ケプラーの惑星運動の法則 Kepler's laws of planetary motion

遠地点 apogee: 軌道上で地球から最も遠ざかった点(人工天体: 地表-遠地点までの高さを扱うこと多)
近地点 perigee最も近づいた地点
→ 遠地点・近地点および地球の重力中心は一直線をなし、この直線は楕円の長軸に一致

太陽の周りを回る天体(惑星、小惑星、彗星、人工惑星等)に対し: 近日点 perihelion ↔ 遠日点 aphelion
一般的な天体に対し: 近点・近星点 periapsis ↔ 遠点・遠星点 apoapsis

2体問題: 厳密に解ける (Ex. 太陽-地球) → 月の運動も考える = 3体問題
3体問題 problem of three bodies , three body problem → 解けない(限定条件下では解存在)